Предельный переход в неравенствах

Теорема 6. Если все элементы сходящейся последовательности , , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству (), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству ().

► Доказываем методом от противного. Предположим, что выполняется неравенство .

По определению предела

.

Положим . Тогда . После несложных преобразований получим . Из правой части этого неравенства имеем . Это противоречит условию, что . Значит, справедливо неравенство .

Аналогично доказывается случай . ◄

Теорема 7 (о промежуточной переменной). Пусть последовательности , , таковы, что:

1) выполняется неравенство ,

2) , .

Тогда последовательность сходится и .

► По определению предела имеем

.

Из последнего неравенства .

Аналогично

.

Отсюда .

Возьмем . Тогда для всех выполняются неравенства одновременно

.

Отсюда или . Это означает, что . ◄