2015-04-17
1091
Определение 1. Функция 
называется непрерывной в точке 
, если выполняются следующие три условия:
1) функция определена в точке , т.е. 
;
2) существует 
;3) 
.
Если в точке нарушено хотя бы одно из условий 1–3, то функция называется разрывной в точке , а точка – точкой разрыва.
Определение 2 (по Коши). Функция 
называется непрерывной в точке , если для любого заданного числа 
можно найти такое число 
(зависящее от 
и ), что для всех 
, для которых 
, выполняется неравенство 
.
Символическая запись:
непрерывна в точке 
.
Пусть 
– приращение аргумента, а 
– приращение функции в точке . При фиксированном приращение 
является функцией аргумента 
. Можно дать еще одно определение непрерывности функции в терминах приращений.
Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции .
Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции .
Теорема РолляПусть функция удовлетворяет следующим условиям на отрезке 
: определена и непрерывна на ; дифференцируема на 
; 
. Тогда существует, по крайней мере, одна точка 
, такая, что 
.
Теорема 2 (Лагранжа) Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что
.
Теорема Лагранжа называется также теоремой о конечных приращениях, а приведенная формула – формулой Лагранжа. Часто используется следующая запись формулы Лагранжа:
, .
Если в формуле Лагранжа положить , получим теорему Ролля, т. е. теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. Положим в формуле Лагранжа 
, 
. Тогда она примет вид
, где 
.
Данная формула связывает приращения аргумента и функции, поэтому ее называют формулой конечных приращений. Данная формула дает точное выражение приращения функции через вызвавшее его приращение аргумента в отличие от дифференциала функции, который определяет приближенное значение приращения функции: 
. В приближенных вычислениях приращение функции заменяют чаще дифференциалом, т.е. полагают 
. Формула Лагранжа применяется реже, так как для ее использования необходимо указать точку 
, что, вообще говоря, не всегда удается.
Теорема 3 (Коши) Пусть функции и 
удовлетворяют следующим условиям: непрерывны на отрезке ; дифференцируемы в интервале , причем 
. Тогда существует, по крайней мере, одна точка , такая, что
.
Если положить в формуле Коши 
, то все условия теоремы Коши будут выполнены, и формула Коши «перейдет» в формулу Лагранжа . Таким образом, теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши
