Необходимое условие интегрируемости функций

Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости). Если существует, то функция ограничена на .

► Действительно, если функция неограничена на , то для любого разбиения отрезка на частичные отрезки , , …, найдется хотя бы один частичный отрезок , на котором функция неограниченна. В силу неограниченности функции на отрезке можно выбрать на нем точку так, чтобы абсолютная величина произведения была больше наперед заданного числа. Таким образом, при любом разбиении отрезка на частичные отрезки интегральная сумма

будет бесконечно большой по абсолютной величине. Следовательно, не существует конечного предела интегральной суммы при стремлении диаметра разбиения к нулю, что противоречит условию теоремы. ◄