Интегрируемость непрерывных и монотонных функций

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке, т.е. существует интеграл .

►Ограниченность на отрезке следует из теоремы Вейерштрасса.

По теореме Кантора эта функция равномерно непрерывна на отрезке . Значит, для любого найдется такое , что для любых и , принадлежащих отрезку , из неравенства следует неравенство .

Возьмем такое разбиение отрезка на частичные отрезки , , чтобы . Тогда из неравенства выполняется неравенство

Отсюда следует, что .С учетом этого

Значит, и ◄

Следствие 1. Если функция ограничена на отрезке и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 2. Функция , монотонная на отрезке , то интегрируема на этом отрезке.

► Ограниченность на отрезке следует из свойств непрерывных функций.

Пусть возрастает на отрезке , т.е. . Пусть . Возьмем такое разбиение отрезка на частичные отрезки , , чтобы

В силу монотонности имеем

и .

Тогда

Следовательно, . В силу критерия Дарбу ◄

3.4. Основные свойства определенного интеграла. О пределенный интеграл обладает следующими свойствами.

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны , то интеграл равен нулю: .Это свойство следует из определения интеграла.

2. Если , то .

►Действительно, так как , то . ◄

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

► Данное утверждение следует из того, что в случае все числа в разбиении будут отрицательными (при все ). ◄

Интеграл был определен для случая . Если , свойство 3 рассматривается как дополнение к определению определенного интеграла. Его можно интерпретировать следующим образом: определенные интегралы и являются пределами интегральных сумм, различающихся лишь знаком.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

► Действительно,

. ◄

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на функций , , …, равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

Доказательство этого свойства аналогично приведенному выше.

Замечание. Совокупность свойств 4 и 5 называются свойством линейности: если и интегрируемы на , то любая их линейная комбинация , , , также интегрируема на :

6 (аддитивность). Если существуют интегралы и , то существует также интеграл и для любых чисел , ,

►Действительно, предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и от выбора . Это позволяет при составлении интегральной суммы включить точку в число точек разбиения. Пусть , т.е.