2015-04-17
4676
Пусть функция 
определена и ограничена на отрезке 
, 
. И пусть 
– разбиение отрезка на 
частичных отрезков 
, 
, точками 
.:
.
Тогда 
– длина частичного отрезка , . На каждом таком отрезке произвольным образом выберем точку 
и составим сумму
.
Определение 2. Сумма
(1)
называется интегральной суммой Римана для функции 
на отрезке соответствующей данному разбиению отрезка и выбору промежуточных точек , .
Пусть 
– длина наибольшего частичного отрезка разбиения , 
, называемая диаметром разбиения.
Определение 3. Функция называется интегрируемой на отрезке (или интегрируемой по Риману), если существует такое число 
, что для любой последовательности разбиений отрезка на частичные отрезки , , диаметр которых стремится к нулю при 
и при любом выборе точек 
, , существует предел интегральных сумм (1) и он равен :
(2)
Число называется определенныминтегралом (или интегралом Римана) от функции на отрезке .
Обозначается: 
, т.е. 
.
При этом 
называется подынтегральным выражением, – подынтегральной функцией, 
– переменной интегрирования, 
и 
– соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Класс всех функций , интегрируемых по Риману на отрезке , обозначается 
.
Определение интеграла Римана на языке 
- 
формулируется следующим образом.
Определение 4. Число называется определенныминтегралом (или интегралом Римана) от функции на отрезке , если для любого 
существует такое 
, что каково бы ни было разбиение отрезка на частичные отрезки , , диаметр которого 
, и каковы бы ни были точки , , выполняется неравенство
.
