Определение определенного интеграла Римана

Пусть функция определена и ограничена на отрезке , . И пусть – разбиение отрезка на частичных отрезков , , точками .:

.

Тогда – длина частичного отрезка , . На каждом таком отрезке произвольным образом выберем точку и составим сумму

.

Определение 2. Сумма

(1)

называется интегральной суммой Римана для функции на отрезке соответствующей данному разбиению отрезка и выбору промежуточных точек , .

Пусть – длина наибольшего частичного отрезка разбиения , , называемая диаметром разбиения.

Определение 3. Функция называется интегрируемой на отрезке (или интегрируемой по Риману), если существует такое число , что для любой последовательности разбиений отрезка на частичные отрезки , , диаметр которых стремится к нулю при и при любом выборе точек , , существует предел интегральных сумм (1) и он равен :

(2)

Число называется определенныминтегралом (или интегралом Римана) от функции на отрезке .

Обозначается: , т.е. .

При этом называется подынтегральным выражением, – подынтегральной функцией, – переменной интегрирования, и – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Класс всех функций , интегрируемых по Риману на отрезке , обозначается .

Определение интеграла Римана на языке - формулируется следующим образом.

Определение 4. Число называется определенныминтегралом (или интегралом Римана) от функции на отрезке , если для любого существует такое , что каково бы ни было разбиение отрезка на частичные отрезки , , диаметр которого , и каковы бы ни были точки , , выполняется неравенство

.