Прямая линия на плоскости

Из школьного курса известно уравнение прямой линии с угловым коэффициентом:

, (3.5)
где число k, называемое угловым коэффициентом прямой, равно тангенсу угла наклона прямой к оси Ox, а число b равно величине отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

Вертикальные прямые перпендикулярны оси Ox и, следовательно, не имеют углового коэффициента. Вертикальная прямая линия имеет уравнение вида , где а – некоторая константа. Кстати, если положить в уравнении (3.5) , то мы получим уравнение горизонтальной прямой линии: .

В любом случае уравнение прямой линии является уравнением первой степени. Общим уравнением прямой линии называется уравнение

, (3.6)

где А, В и С – постоянные числа, причем коэффициенты А и В не равны нулю одновременно: . Если в уравнении (3.6) коэффициент В отличен от нуля, то данное уравнение можно записать в виде . Сравнивая полученное уравнение с (3.5), получим полезную формулу:

. (3.7)

Если в уравнении (3.6) коэффициент В = 0, то данное уравнение задает вертикальную прямую: .

Предположим, что прямая линия проходит через заданную точку и имеет угловой коэффициент k. Подставим координаты точки М в уравнение (3.5): . Вычитая полученное равенство из равенства (3.5), мы получим уравнение прямой, проходящей через заданную точку, с заданным угловым коэффициентом:

. (3.8)

Предположим, что прямая линия проходит через две точки и . Предположим сначала, что x ₁ ¹ x ₀, т. е. прямая MN не параллельна оси Oy. В уравнение (3.8) вместо текущих координат подставим координаты точки N: . Из полученного равенства найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки:

. (3.9)

Подставляя найденный угловой коэффициент в уравнение (3.8) (в предположении, что y ₁ ¹ y ₀), мы получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

. (3.10)
Если x ₁ = x ₀, то прямая MN параллельна оси Oy, и уравнение этой прямой, очевидно, будет x = x ₀.

Если y ₁ = y ₀, то прямая MN параллельна оси Ox, и уравнение этой прямой будет y = y ₀.

g Угол между двумя прямыми и находится по формуле:

. (3.11)

Точнее, по формуле (3.11) можно найти тот угол между прямыми, который получается при повороте прямой против часовой стрелки вокруг точки пересечения прямых, до совмещения с прямой .

4Для доказательства формулы (3.11) достаточно заметить, что угол j является разностью углов a и b, которые образуют с осью Ox соответственно прямые и (рис. 3.3). Таким образом, подставляя в формулу , получим:

.3

Замечание. Формула (3.11) имеет место только в том случае, когда обе прямые имеют угловые коэффициенты. Читателям мы предлагаем самостоятельно вывести формулу для нахождения угла между вертикальной прямой x = a и наклонной прямой y = kx + b.

Из формулы (3.11) вытекают два важных следствия:

1. Условие параллельности двух прямых.

g Две прямые, имеющие угловые коэффициенты k ₁ и k ₂ параллельны, тогда и только тогда, когда k ₁ = k ₂. 4Действительно, для параллельных прямых и, следовательно, k ₁ = k ₂. Обратное утверждение очевидно.3

2. Условие перпендикулярности двух прямых.

g Две прямые, имеющие угловые коэффициенты k ₁ и k ₂ перпендикулярны, тогда и только тогда, когда . 4Действительно, для перпендикулярных прямых . Таким образом, .3

1 Расстояние от точки до прямой линии (рис. 3.4) можно найти по формуле:

. (3.12)

Задача 3.2. Дан треугольник A (2; 7), B (-5; 7), C (5; 3). Найти:
1) уравнения сторон; 2) уравнение и длину медианы AM; 3) уравнение и длину высоты BD; 4) уравнение биссектрисы AK; 5) точку пересечения медианы AM с высотой BD и угол между ними.

Решение. 1) Уравнения сторон AC и BC найдем, используя уравнение прямой, проходящей через две точки (3.10):

Уравнение AB находится еще проще. Нужно только заметить, что вторая координата точек A и B одинакова и равна 7.

2) Найдем точку M – середину стороны BC:

Длину медианы найдем как расстояние между двумя точками:

.

3) Определим угловой коэффициент стороны AC. Для того уравнение

AC запишем в виде Следовательно,

(условие перпендикулярности прямых BD и AC).

Составим уравнение высоты BD, используя уравнение (3.8) прямой, проходящей через заданную точку B и с угловым коэффициентом k.

Длину высоты BD найдем как расстояние точки B до прямой AC по формуле (3.12):

4) Найдем основание биссектрисы (точку K), используя то, что точка K делит отрезок BC на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника:

где .

Следовательно, .

Для нахождения координат точки K используем формулы (3.2) деления отрезка в данном отношении:

Составим уравнение AK, используя координаты точек A и K:

5) Найдем точку пересечения медианы AM с высотой BD, решив систему:

.

Итак, точка O пересечения медианы с высотой имеет координаты:
O (23; 28). Для нахождения угла между прямыми линиями BD и AM воспользуемся формулой (3.11), взяв в качестве углового коэффициента

и .