Решение

1. Область определения .

2. Пусть x = 0, тогда y = 1,5. Пусть y = 0, тогда x = . То есть точки (0; 3/2) и (; 0) – являются точками пересечения графика функции с осями координат. Если , то y (x) < 0. Если то y (x) > 0.

3. Функция общего вида, т. е. не является ни четной, ни нечетной. Действительно, То есть y (- x) ¹ y (x) и y (- x)¹ - y (x).

4. Функция не является периодической, так как она имеет только одну точку разрыва.

5. Функция непрерывна в области определения, так как является дробно-рациональной. Для исследования типа разрыва в точке x = 2 найдем односторонние пределы

Следовательно, точка x = 2 является точкой разрыва второго рода, и прямая линия x = 2 является вертикальной асимптотой графика функции.

Уравнения наклонных (горизонтальных) асимптот графика функции будем искать в виде: y=kx+b, где k и b определяются по формулам (6.5) – (6.6):

Таким образом, прямая y = x + 2 является наклонной асимптотой.

6. Найдем первую производную функции:

Итак, критическими точками 1-го рода являются точки x = 1 и x = 3. Точка x= 2 критической не является, т. к. она не принадлежит области определения функции.

7. Найдем вторую производную функции: