Свойства функции, непрерывной на отрезке

Приведем без доказательства некоторые основные теоремы, справедливые для функций, непрерывных на отрезке.

1 Первая теорема Больцано-Коши. Пусть функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда между а и b найдется точка с, в которой функция обращается в нуль: .

1 Вторая теорема Больцано-Коши. Пусть функция определена и непрерывна в некотором промежутке (замкнутом или нет, конечном или же бесконечном). Если в двух точках x = a и x = b () функция принимает неравные значения , то каково бы ни было число С, лежащее между А и B, найдется такая точка x = с между a и b, что .

1 Пусть функция определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке X. Тогда в соответствующем промежутке Y значений этой функции существует однозначная обратная функция , также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная.

1 Первая теорема Вейершраса. Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке , то она ограничена, т.е. существуют такие константы m и M, что .

1 Вторая теорема Вейершраса. Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке , то она достигает в этом промежутке своего наибольшего и наименьшего значения.

Причем функция достигает в замкнутом промежутке наибольшего и наименьшего значения или в точках локального экстремума или на концах промежутка.

Задача 6.7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0, 1].

Решение. Определим критические точки данной функции. Для этого приравняем к нулю ее первую производную:

Очевидно, что решениями полученного уравнения являются числа . Только один корень принадлежит рассматриваемому интервалу [0, 1]. Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [0, 1] достаточно сравнить значение функции в критической точке (не выясняя при этом, есть ли в данной точке экстремум) с ее значениями на концах отрезка: