2015-04-01
1590
2 Асимптотой графика функции y = f (x) называется прямая линия, к которой неограниченно приближаются точки графика функции при их неограниченном удалении от начала координат. При этом график функции может пересекать асимптоту не более чем конечное число раз.
Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
1 Прямая линия x = x 0 является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) слева (справа), если соответствующий односторонний предел в точке x 0 (ч. 1, гл. 4) равен бесконечности 
или 
.
Если прямая линия x = x 0 является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), то, очевидно, что x 0 является точкой разрыва второго рода данной функции.
1 Прямая линия y = y 0 является горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x) при 
(
), если 
(
).
1 Если существуют и конечны пределы
и 
, (6.5)
то прямая линия y = k 1 x + b 1 является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при .
1 Если существуют и конечны пределы
и 
, (6.6)
то прямая линия y = k 2 x + b 2 является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при .
Очевидно, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных (при k = 0).
Пример 6.4. Найти асимптоты графика функции 
.
1) Найдем односторонние пределы в точке разрыва данной функции:
, 
. Так как оба предела равны бесконечности, то прямая линия x = 3 является вертикальной асимптотой графика функции (как слева, так и справа).
2) Очевидно, что 
, следовательно, прямая линия y = 0 (ось OX) является горизонтальной асимптотой. График данной функции схематически изображен на
рис. 6.7.
Задача 6.5. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение. 1) Найдем односторонние пределы в точке разрыва данной функции (в точке x = 0).
Если 
, то 
и, следовательно, 
.
Если 
, то 
. В этом случае предел вычисляем по правилу Лопиталя:
.
Следовательно, прямая линия y = 0 является вертикальной асимптотой графика исходной функции справа.
2) Наклонные асимптоты будем искать, используя формулы (6.5) – (6.6).
,
.
Следовательно, прямая линия y = x + 1 является наклонной асимптотой графика исходной функции (при и при ). График функции постройте самостоятельно (в качестве упражнения).
