Определение и свойства неопределенного интеграла

Предположим, что на некотором интервале определена непрерывная функция .

2Первообразной функции на интервале называется функция такая, что при любом .

g Теорема (об общем виде всех первообразных). Первообразная функции определяется с точностью до константы, а точнее выполняются два утверждения:

1) если функция является первообразной функции на некотором интервале , то функция также является первообразной функции на данном интервале для любой константы С;

2) если и – две первообразные функции на интервале , то их разность является константой:

4 1) Найдем производную функции :

Таким образом, функция является первообразной функции на интервале .

2) Найдем производную функции :

. По следствию из теоремы Лагранжа (гл. 6) отсюда вытекает, что .3

2 Множество всех первообразных функции на некотором интервале называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . Функция f (x) называется подынтегральной функцией.

Таким образом, , где – одна из первообразных функции .

2 Функция , имеющая хотя бы одну первообразную на интервале , называется функцией, интегрируемой на интервале .

1 Интегрирование и дифференцирование являются взаимно-обратными операциями, в том смысле, что

1) ; 2) .

(данные свойства проверяются непосредственно).

2 Два интеграла называются равными на некотором интервале , если первообразные обеих подынтегральных функций соответственно, отличаются не более, чем на константу: , .

Интегралы от наиболее распространенных функций приведены в следующей таблице:

Таблица интегралов

Формула (12) справедлива при всех x, удовлетворяющих неравенству .

Все табличные формулы справедливы только при тех значениях переменной x, которые входят в область определения подынтегральной функции. Каждую из этих формул можно доказать с помощью дифференцирования. Докажем некоторые из них:

g .