Сравнение выборочной средней с генеральной средней нормальной совокупности

На практике задача сравнения выборочного среднего арифметического со средним значением генеральной совокупности возникает при выборочном контроле качества продукции в промышленности, но и в географических исследованиях такая задача часто возникает, когда предстоит решить, значимо ли отличается среднее значение признака, полученное по выборке, от среднего значения, известного по результатам многочисленных предыдущих экспериментов.

Пусть необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестное среднее значение а генеральной совокупности, из которой получена выборка, равна заданному значению а _о (известному, например, из предыдущих экспериментов). Для этого используется t-критерий Стьюдента.

Порядок применения t–критерия следующий:

1. Принимается предположение о нормальности распределения генеральной совокупности. Формулируется нулевая гипотеза Н_о: а = а _о о равенстве генеральной средней а нормальной совокупности заданному значению а _о при конкурирующей гипотезе Н₁: а¹а_о; задаётся уровень значимости a.

2. Получают выборку объекта n.

3. Вычисляется выборочное среднее и исправленная выборочная дисперсия s.

4. Определяется значения t-критерия по формуле:

t_набл =( – а _о) /s.

5. По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости a, помещённому в верхней строке таблице, и числу степени свободы n=n-1 находится критическая точка t_кр(a,n).

Если |t_наиб|>t_кр, то выборочное среднее значимо отличается от а _о на уровне на уровне значимости a, и в этой ситуации отклоняется гипотеза Н_о, то есть считается, что выборка взята из другой генеральной совокупности, для которой а¹а_о. Если |t_наиб|< t_кр, то на заданном уровне различие незначимо и сохраняется гипотеза Н_о.

Задание 15.2 По выборке объёма n=90, извлечённой из нормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя =30,77 и исправленная выборочная дисперсия s=6,83. Требуется на уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н_о: а=а_о=30, при конкурирующей гипотезе Н₁: а¹30.

Решение. Вычислим наблюдаемое значение критерия:

t_набл =( – а _о) /s=(30,77-30) /6,83»1,07.

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид а¹а_о, поэтому критическая область – двусторонняя.

По таблице П.1.6 критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости a=0,05, помещённому в верхней строке таблицы, и по числу степени свободы n=90-1=89 находим критическую точку t_кр(0,05;89)=1,99.

Так как |t_набл|< t_кр – нет оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу; выборочная средняя незначимо отличается от гипотетической генеральной средней.