Раздел 5. Круговые процессы (циклы) и их КПД. Тепловые машины

Пример 5.1. Один моль (ν=1 моль) идеального двухатомного газа, занимающий объём 12,3 л под давлением 200 кПа, нагревается при постоянном объёме до давления 300 кПа. Далее газ расширяется при постоянном давлении до объёма 24,6 л, после чего охлаждается при постоянном объёме до начального давления и, наконец, сжимается при постоянном давлении до начального объёма. Определить: 1) температуры газа для характерных («поворотных») точек цикла; 2) термический КПД цикла.

Решение. Из условия задачи следует, что цикл состоит из двух изохорических и двух изобарических процессов. Введём обозначения. Наименьший объём газа - V', наибольший -V", наименьшее давление - p', наибольшее - p". Начальная и конечная температура газа – Т₁, температура после изохорического нагревания – Т₂, после изобарического расширения – Т₃, после изохорического охлаждения – Т₄.

Температуру в начальном состоянии определим из уравнения Клапейрона-Менделеева p'V'=νRT₁. Отсюда Т₁ = p'V'/(νR). Сделав подстановку числовых значений, получим Т₁ =290 К.

При изохорическом процессе давление газа прямо пропорционально абсолютной температуре: p"/p'=T₂ /T₁, откуда T₂ =T₁р" /p' = 435 К.

При изобарическом процессе объём газа прямо пропорционален абсолютной температуре: V"/V'=T₃ /Т₂, откуда T₃=Т₂ V"/V' = 870 К.

Точно так же, для последнего, изобарического этапа цикла V"/V'=T₄ /Т₁, откуда T₄ =Т₁V"/V'=580 К. Характерные температуры найдены.

Термический КПД любого цикла определяется формулой

η=(Q₁ – Q₂)/ Q₁ = 1 - Q₂ / Q₁,

где Q₁ – теплота, полученная газом за один цикл от нагревателя, Q₂ – теплота, отданная за один цикл охладителю, Q₁ – Q₂ - теплота, превращаемая в механическую энергию.

Теплота, полученная газом при изохорическом нагревании (первый этап цикла), Q_1-2 =νC _V(T₂ –T₁).

Теплота, полученная при изобарическом расширении (второй этап цикла),

Q_2-3 =νC _р(T₃ –T₂).

Газ принимает теплоту от нагревателя именно на первых двух этапах цикла. Полная теплота, полученная газом от нагревателя,

Q₁= Q_1-2 + Q_2-3 = νC _V(T₂ –T₁)+ νC _р(T₃ –T₂).

Таким же образом найдём полную теплоту, отданную газом охладителю при изохорическом охлаждении (третий этап цикла) и изобарическом сжатии (четвёртый этап):

Q₂= Q_1-2 + Q_2-3 = νC _V(T₃ –T₄)+ νC _р(T₄ –T₁).

Подставив формулы для Q₁ и Q₂ в выражение для термического КПД, после числовых расчётов получим η = 1 – 0,923 = 0,077 = 7,7 %.

Пример 5.2. Трёхатомный газ (i=6) газ совершает цикл Карно. Объём газа после изотермического расширения составляет V₁ = 6 м³. Определить объём газа после адиабатического расширения, если КПД цикла η=22 %.

Решение. Обозначим температуры газа в начале и в конце адиабатического расширения Т₁ и Т₂. Запишем уравнение Пуассона для адиабатического процесса в виде: Т₂ /Т₁ = (V₁ /V₂)^γ-1, где γ=C_р /C_V =(i+2)/i - показатель адиабаты. Нетрудно рассчитать, что для трёхатомного газа γ-1=⅓. Тогда уравнение Пуассона запишется в виде:

Т₂ /Т₁ = (V₁ /V₂)^⅓ → V₁ /V₂ = (Т₂ /Т₁)³.

Отношение Т₂ /Т₁ находим из формулы для КПД цикла Карно:

η = (Т₁ –Т₂) / Т₁ =1 - Т₂ /Т₁ → Т₂ /Т₁ = 1 – η.

Тогда отношение объёмов выразится формулой: V₁ /V₂ = (1 – η)³.

Выражая отсюда конечный объём, получим: V₂ = V₁ /(1 – η)³.

Произведя вычисления, найдём: V₂ = 12,6 м³.

Пример 5.3. Температура нагревателя идеальной тепловой машины t₁ =117°C, а холодильника t=27°C. Количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за t = 1с, равно Q₁ =60 кДж. Найти количество теплоты Q₂, отдаваемое холодильнику за это время, и мощность машины N.

Решение. КПД идеальной тепловой машины можно выразить через принимаемую и отдаваемую теплоту или через температуры нагревателя и холодильника. Приравняв эти выражения, получим: (Q₁ - Q₂)/Q₁ = (Т₁ – Т₂)/Т₁, или 1- Q₂ /Q₁ =1 - Т₂/Т₁. Из выражения Q₂ /Q₁ =Т₂/Т₁ можно получить Q₂ =Q₁Т₂/Т₁.

Мощность тепловой машины равна её работе в единицу времени: N=A/t. Работа А равна разности между количеством теплоты Q₁, полученным рабочим телом от нагревателя, и количеством теплоты Q₂, отданным им холодильнику. Таким образом, мощность N=(Q₁ - Q₂)/t.

Переведя данные в единицы СИ и произведя вычисления, получим: Q₂ =46 кДж, N=14 кВт.

Пример 5.4. Нагреватель тепловой машины, работающей по циклу Карно, имеет температуру t₁ = 200 °C (Т₁=473 К). Какова температура холодильника, если за счёт каждой килокалории тепла, полученной от нагревателя, машина совершает работу 1,68 кДж?

Решение. Температуру охладителя можно найти из выражения для КПД машины, работающей по циклу Карно: η=(Т₁ – Т₂)/Т₁, где Т₁ и Т₂ - абсолютные температуры нагревателя и холодильника. Отсюда Т₂ = Т₁ (1 – η).

Термический КПД тепловой машины есть коэффициент использования теплоты. Он выражает отношение теплоты, которая превращается в механическую работу А, к теплоте Q₁, которая получена рабочим телом от нагревателя, т.е.η=A/Q₁. С учётом этой формулы Т₂ = Т₁ (1 – A/Q₁). Подставив сюда числовые значения, получим Т₂ =284 К.