Раздел 4. Основы термодинамики

Пример 4.1. Двухатомный газ под давлением p=150 кПа и при температуре t=27°C занимает объём V=100 л. Определить теплоёмкость этого газа при постоянном объёме c_V и при постоянном давлении c_p.

Решение. Теплоёмкость – это количество теплоты, которое нужно передать всему веществу для изменения его температуры на 1 К. Молярные теплоёмкости газа при постоянном объёме и при постоянном давлении соответственно выражаются через универсальную газовую постоянную R: C_V =iR/2 и C_p =(i+2)R/2. В случае двухатомного газа число степеней свободы молекул i=5.

С учётом сказанного, для теплоёмкостей газа можно записать: c_V = C_V m/μ= =imR/(2μ); c_p = C_р m/μ= (i+2)mR/(2μ).

Из уравнения Клапейрона-Менделеева pV=mRT/μ находим, что mR/μ=pV/T. Тогда уравнения для теплоёмкостей принимают вид: c_V = ipV/(2T); c_p =(i+2)pV/(2T). Производя вычисления по этим формулам, получим: c_V =125 Дж/К, c_p =175 Дж/К.

Пример 4.2. двухатомный газ занимает объём V=10 см³ и находится под давлением p=40 мм рт. ст. Найти внутреннюю энергию этого газа U. Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного, а какая на долю вращательного движения молекул?

Решение. Обозначим U_пост и U_вращ внутреннюю энергию газа, приходящуюся соответственно на поступательное и вращательное движение молекул. Внутренняя энергия газа, имеющего i степеней свободы молекул, определяется выражением: U=imRT/(2μ), где m – масса газа, μ – его молярная масса, R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура. На основании уравнения Колапейрона-Менделеева можно заменить mRT/μ на произведение pV. Тогда для внутренней энергии получим формулу: U=ipV/2. Подставив данные, переведённые в СИ, с учётом того, что i=5, получим:U= 0,133 Дж.

Для энергии поступательного и вращательного движения всех молекул газа соответственно справедливы формулы: U_пост =i_пост pV/2, U_вращ =i_вращ pV/2. Известно, что для любого газа i_пост =3. Для двухатомного газа i_вращ =2.

Из предыдущих формул видно, что U_пост /U= i_пост /i; U_вращ /U= i_вращ /i. Таким образом получим, что на поступательное движение приходится 0,6 (или 60%) внутренней энергии газа, а на вращательно движение – 0,4 (или 40 %) этой энергии.

Пример 4.3. В цилиндре объёмом V=6 л под поршнем, занимающим среднее положение, находится водород Н₂ при атмосферном давлении (р₀=100 кПа). При нагревании газ расширяется при постоянном давлении, в результате чего поршень поднимается вверх до упора, после чего давление газа постепенно возрастает в два раза. Определить количество теплоты, переданное газу. Трением поршня о стенки сосуда, а также весом поршня и его толщиной пренебречь.

Решение. На первом этапе газ расширяется от V₁ = 3 л до V₂ = 6 л при постоянном давлении, т.е. происходит изобарический процесс, а затем нагревается при постоянном объёме, т.е. идёт изохорический процесс. Суммарное количество теплоты, переданное газу, найдём как сумму количеств теплоты, переданных при изобарическом Q_р и изохорическом Q_V процессах.

Q=Q_р +Q_V = (m/μ)C_p (T₂ –T₁) + (m/μ)C_V(T₃-T₂) =

= m(i+2)R(T₂ –T₁)/(2μ) + miR(T₃-T₂)/(2μ),

где i=5 (число степеней свободы двухатомного газа), m – масса газа, μ – молярная масса водорода, R – универсальная газовая постоянная. Выразив температуры T₁,T₂,T₃ из уравнения Клапейрона-Менделеева, полученное выражение для Q можно представить в виде:

½{(i+2)(p₀V₂ – p₀V₁)+i(p₂V₂ – p₀V₂)} = ½{(i+2) p₀ (V₂ – V₁)+i(p₂ – p₀ )V₂}.

Произведя вычисления по этой формуле, получим, что суммарное количество теплоты, переданное газу в ходе двух процессов, Q = 2,55 кДж.

Пример 4.4. В вертикальном цилиндре под тяжёлым поршнем находится кислород массой m=2 кг. Для повышения температуры газа на ΔT= 5 К ему сообщили Q=9160 Дж теплоты. Найти удельную теплоёмкость кислорода при постоянном давлении c_р, работу А, совершённую газом при расширении, и приращение его внутренней энергии ΔU. Молярная масса кислорода μ=0,032 кг/моль.

Решение. Поскольку масса поршня и атмосферное давление не изменяются, здесь имеет место изобарический процесс. Поэтому переданное газу количество теплоты выразится формулой: Q=c_р m ΔT. Отсюда c_р =Q/(m ΔT). Изменение внутренней энергии кислорода найдём по формуле: ΔU=imR ΔT/(2μ), где i=5 – число степеней свободы двухатомной молекулы кислорода, R – универсальная газовая постоянная. Работу газа найдём из первого начала термодинамики как разность полученного количества теплоты и изменения внутренней энергии: A= Q – ΔU.

Произведя вычисления, получим: c_р =916 Дж/(кг·К), ΔU= 6492 Дж, А=2668 Дж.

Пример 4.5. Азот N₂ массой m=10 г расширяется изотермически при температуре t=-20°C (Т=253 К). При этом его давление изменяется от р₁ =202 кПа до р₂ =101 кПа. Найти работу расширения, изменение внутренней энергии азота и количество теплоты, сообщённое газу.

Решение. Изменение внутренней энергии газа определяется изменением температуры: ΔU=cm ΔT, где c – удельная теплоёмкость, m – масса газа. Поскольку в изотермическом процессе изменение температуры ΔT=0, внутренняя энергия газа не изменяется, т.е. ΔU=0.

Работа газа в изотермическом процессе, как известно, определяется выражением:

v₂

A= ∫p dV

v₁

Подставим в подынтегральное выражение давление, выраженное из уравнения Клапейрона-Менделеева: p=mRT/(μV). Тогда, проведя интегрирование, получим: A=(mRT/μ) ln(V₂ /V₁).

По закону Бойля-Мариотта отношение объёмов газа при изотермическом процессе можно заменить обратным отношением давлений: V₂ /V₁ = р₁ /р₂. Тогда получим: A=(mRT/μ) ln(р₁ /р₂). Подставив числовые данные, рассчитаем работу газа. Получим: A ≈ 520 Дж.

Количество теплоты, сообщённое газу, найдём из первого начала термодинамики: Q=ΔU+A, или, поскольку в изотермическом процессе ΔU=0, для теплоты получим: Q=A≈520 Дж.