Раздел 6. Энтропия

Пример 6.1. Найти изменение энтропии при охлаждении азота массой m=10 г от 80°C до 0°C при постоянном объёме и при постоянном давлении.

Решение. Как известно, изменение энтропии можно найти по формуле:

₂

ΔS=S₂ –S₁ =∫dQ/T, где dQ – малое изменение энтропии при температуре Т.

¹

При изохорическом процессе dQ_V =mC_V dT/μ=imRdT/(2μ).

При изобарическом процессе dQ_р=mC_р dT/μ= (i+2)mRdT/(2μ).

Подставляя эти формулы в выражение для ΔS и проводя интегрирование, получим:

Т₂

ΔS_V=imR/(2μ) ∫ dT/T= imR/(2μ)ℓn(T₂ /T₁) –для изохорического процесса,

Т₁

Т₂

ΔS_р=(i+2)mR/(2μ) ∫ dT/T= (i+2)mR/(2μ)ℓn(T₂ /T₁) – для изобарического

Т₁ процесса.

Произведя вычисления по этим формулам, получим: ΔS_V = -1,93 Дж/К; ΔS_р = -2,7 Дж/К.

Пример 6.2. Найти изменение энтропии при изотермическом расширении 6 г водорода, если его начальное давление 100 кПа, а конечное 50 кПа.

Решение. Известно, что изменение энтропии выражается формулой:

₂

ΔS=S₂ –S₁ =∫dQ/T, где dQ – малое изменение энтропии при температуре Т.

¹

Из первого начала термодинамики следует, что dQ=(m/μ)C_V dT+pdV. Здесь С_V – молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме (далее С_р – молярная теплоёмкость при постоянном давлении). Разделим обе части этого равенства на Т и учтём, что из уравнения Клапейрона-Менделеева следует: p/T=mR/(μV). Тогда будем иметь следующее выражение:

_{2 2}

ΔS=S₂ –S₁ = ∫ (m/μ)C_V dT/T+ ∫ (m/μ)RdV/V

^{1 1}

Проведя интегрирование, получим: ΔS=(m/μ)C_V ℓn(T₂ /Т₁)+ (m/μ)R ℓn(V₂ /V₁). Выразим отношение объёмов из уравнения Клапейрона: V₂ /V₁ =Т₂ р₁ /(Т₁ р₂). После подстановки этого отношения в выражение для изменения энтропии получим:

ΔS=(m/μ)C_р ℓn(T₂ /Т₁) - (m/μ)R ℓn(р₂ /р₁).

При выводе этой формулы было учтено уравнение Майера: C_р=C_V+R.

По условию задачи с газом происходит изотермический процесс, значит Т₂=Т₁ и тогда ΔS= - (m/μ)R ℓn(р₂ /р₁). Молярная масса водорода μ известна. Подставив числовые данные и произведя расчёт, получим: ΔS= 17,3 Дж/К.

Пример 6.3. Найти изменение энтропии при нагревании 100 г воды от 0 до 100°C и последующем превращении воды в пар при той же температуры.

Решение. Формула для изменения энтропии имеет вид:

₂

ΔS=S₂ –S₁ =∫dQ/T, где dQ – малое изменение энтропии при температуре Т.

¹

При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затрачивается теплота: dQ=mcdT, где m – масса тела, c – его удельная теплоёмкость.

Подставив dQ в формулу для изменения энтропии, получим, получим, что при нагревании воды

Т₂

ΔS' =∫mcdT /T = mсℓn(T₂ /Т₁).

Т₁

Произведём вычисления: ΔS=132 Дж/К.

При вычислении изменения энтропии в процессе превращения воды в пар при той же температуре постоянная температура Т может быть вынесена за знак интеграла:

₂

ΔS"=S₂ –S₁ =∫dQ/T = Q/T=λm/T,

¹

где λ – удельная теплота парообразования. Подставим числовые значения и после вычислений получим, что при парообразовании ΔS=605 Дж/К.

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении её в пар: ΔS=ΔS'+ΔS" =737 Дж/К.