Решение типовых задач. Пример 1. Вычислить интеграл

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение.

Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с

одинаковыми степенями:

Следовательно,

, .

Тогда .

Теперь легко вычислить исходный интеграл

Ответ.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Сначала выделим правильную рациональную дробь, разделив числитель на знаменатель.

.

Получаем

Ответ.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители, далее представим её в виде суммы простейших дробей:

.

Определим коэффициенты:

Следовательно, , .

Отсюда находим

.

Теперь вычислим исходный интеграл

Ответ.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами:

Найдём неизвестные коэффициенты и вычислим интеграл:

Ответ.