Интегрирование функции комплексной переменной

Пусть функция w = f (z) определена на дуге MN кривой L комплексной плоскости z. Разобьем дугу MN произвольным образом на n частей точками M=z ₀, z ₁,…, z_n = N. Полученные дуги z_{i -1} z_i, i= 1,…, n назовем элементарными дугами. В каждой из элементарных дуг произвольным образом выберем по точке , i= 1,…, n, которые назовем точками пунктуации. Введем обозначения:

и составим сумму

, (3)

которая называется интегральной суммой Римана для функции f (z) по дуге MN. Заметим, что выражение (3) зависит от способа разбиения дуги MN на элементарные дуги и от способа выбора точек пунктуации.

Если существует предел интегральной суммы Римана (3) при , и если этот предел не зависит ни от способа разбиения дуги MN на элементарные дуги, ни от выбора точек пунктуации, то он называется интегралом от функции комплексной переменной f (z) по дуге MN. При этом используется обозначение:

.

Таким образом, по определению

= . (4)

Если f (z)= u (x, y)+ iv (x, y), то интеграл представляется в виде суммы двух криволинейных интегралов 2-го рода:

(5)

Задание. Вычислить интеграл , где - верхняя полуокружность от точки до точки .

Решение. По формуле (5) имеем:

.

Переходя к параметрическому уравнению кривой ,

получаем

.