Применение преобразования Лапласа

На практике операционные методы получили широкое применение для отыскания решений линейных дифференциальных уравнений и линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n - го порядка с постоянными коэффициентами

(здесь y ₀, y ₁, …, y_n _-1 - заданные постоянные) может быть получено операционным методом по следующей формуле:

, (2)

где

Решение задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений n - го порядка с постоянными коэффициентами

(здесь y ¹, y ²,…, yⁿ - заданные постоянные) может быть получено операционным методом по следующей формуле:

, (3)

где

- алгебраические дополнения элементов определителя .

Задание 1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка:

Решение. В данном случае . Следовательно, по второй формуле малой таблицы лапласовых изображений имеем: . Тогда в силу (2) решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения может быть записано в виде:

Для нахождения обратного преобразования Лапласа полученной правильной дробно-рациональной функции, найдем ее разложение на простейшие:

где коэффициенты A, B,C,D находятся как решение системы алгебраических уравнений:

Решая систему, получаем: . Следовательно,

(Здесь мы воспользовались свойством линейности обратного преобразования Лапласа и малой таблицей обратных преобразований Лапласа.)

Задание 2. Найти решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений:

Решение. В данном случае . Следовательно, по первой формуле малой таблицы лапласовых изображений имеем: . Тогда в силу (3) решение задачи Коши для данной системы дифференциальных уравнений может быть представлено в виде: