Дифференцирование функций комплексной переменной

Пусть функция w = f (z) задана в некоторой области D комплексной переменной z. Функция f (z) называется дифференцируемой в точке z, если существует конечный предел отношения приращения функции ∆ f (z) к приращению аргумента ∆ z при условии, что ∆ z →0. Этот предел называется производной функции w = f (z) в точке z и обозначается .Таким образом,

.

Теорема (критерий дифференцируемости функций комплексной переменной). Для того чтобы функция f (z)= u (x, y)+ iv (x, y) была дифференцируемой в точке z =x+iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u (x, y) и v (x, y) были дифференцируемы в точке(x, y) как функции двух действительных переменных x, y и выполнялись условия Коши-Римана:

(1)

При выполнении условий (1) производная может быть записана в виде:

. (2)

Заметим, что правила дифференцирования функции комплексной переменной аналогичны правилам дифференцирования функции действительной переменной.

Задание. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции f (z) и в случае их выполнения найти :

.

Решение. В данном случае

,

,

и поэтому

Следовательно, условия Коши-Римана выполняются во всей плоскости, и по формуле (2) имеем:

.

Тогда

.