Теорема 10. (Теорема Ляпунова, одна из форм «центральной предельной теоремы»)

Если - независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение с математическим ожиданием и дисперсией , то для любого действительного , функция распределения стандартизированного среднего арифметического случайных величин сходится к функции Лапласа:

, где .

Иначе, можно сказать, что, при неограниченном возрастании закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному закону распределения.

Как следствия «центральной предельной теоремы», на практике широко используются, так называемые локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Теорема 11 (Локальная теорема Лапласа). Если вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна одной и той же постоянной (), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие наступит ровно раз, приближенно выражается формулой: , а .

Подставляя, получаем: .

Теорема 12 (Интегральная теорема Лапласа). Если вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна одной и той же постоянной (), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие наступит не менее раз и не более раз, приближенно выражается формулой

;

, , где - функция Лапласа.

Пример. Вероятность поражения мишенистрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз.

Решение. Условие задачи вписывается в схему Бернулли, имеем , поэтому . Воспользуемся теоремой 12, предварительно вычислив по формулам: , .

.

В заключение этого раздела отметим, что «закон больших чисел» и «центральная предельная теорема» лежат в основе математической статистики, поскольку позволяют высказывать статистические прогнозы и оценивать точность этих прогнозов.