Операции над матрицами

1. Транспонирование матриц

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной и обозначается А ^т.

Пример 1. Транспонируйте матрицу

Решение. Операция транспонирования матрицы А осуществляется следующим образом: первая строка матрицы А становится первым столбцом матрицы А ^Т, вторая строка А - вторым столбцом А ^т, т.е.

А ^т =

2. Сложение (вычитание) матриц

Складывать (вычитать) можно только такие матрицы, которые имеют одинаковую размерность.

Суммой (разностью) матриц А = (a_ij) и В = (b_ij) называется матрица С, элементы которой равны суммам (разно­стям) соответствующих элементов матриц А и В, т.е. c_ij = a_ij + b_ij (c_ij = a_ij - b_ij).

Пример 2. Найдите сумму и разность матриц и

Решение:

D = A – B =

3. Произведениемматрицы А = (а_ij) на число k (k R) называется матрица С той же размерности, элементы кото­рой равны произведению числа k на соответствующие элементы матрицы А, т.е. c_ij = k · а_ij

Пример 3. Найдите произведение матрицы А на число k = 3, если

Решение:

4. Умножение матриц

Матрицу А можно умножать на матрицу В тогда и только то­гда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением матрицы А размера (m x n) на матрицу В размера (п x р) называется матрица С = (с_ij) размера (m x р), элементы которой равны сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -гo столбца матрицы В.

Получение элемента с_ij можно представить в виде схемы (рис. 1):

Рис. 1

Пример 4. Найдите произведение матриц и.

Решение. Размер матрицы А (2 х 3), размер В - (3 х 2).

Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, следовательно, умножение возможно. При этом матрица С = А · В будет иметь размерность (2 х 2).

Найдем элементы с_ij матрицы С:

Для нахождения элемента c₁₁ находим сумму произведений элементов первой строки матрицы А и первого столбца матрицы В:

c₁₁ = (1 строка А и 1 столбец В) = l ·1 + 2· 0 + 0 · 2 = 1;

Аналогично c₁₂ = (1 строка А и 2 столбец В) = 1 · 2 + 2 · 1 + 0 · 2 = 4;

c₂₁ = (2 строка А и 1 столбец В) = 3 · 1 + 1 · 0 + 1 · 2 = 5;

c₂₂ = (2 строка А и 2 столбец В) = 3 · 2 + 1 · 1 + 1 · 2 = 9.

Получили, что. Ответ:

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 2, §2.1, стр. 12 – 17.

2. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 1, §1, стр. 63 – 71.