Задание 10. Кривые второго порядка– 1,5 ч

Цель: формирование умения составлять уравнения кривых второго порядка и выполнять их изображение.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 10.1.Выучите определения окружности, эллипса, параболы, гиперболы. Используя обобщающую таблицу, проанализируйте, с помощью каких уравнений задаются кривые второго порядка, каковы основные параметры каждой линии.

?10.2. Определите вид кривой второго порядка и постройте ее:

а) ; б) ; в) ; г) .

?10.3. Составьте уравнение кривой второго порядка по следующим условиям:

а) уравнение окружности с центром в точке (-2; 5) и радиусом 3;

¶б) уравнение окружности с центром в точке (1; -2), проходящей через точку (4; -6);

в) уравнения эллипса, большая полуось а которого равна 3, малая полуось b равна 1;

г) уравнение гиперболы, действительная полуось а которой равна 6, мнимая полуось b равна 2;

¶д) уравнение параболы, имеющей фокус в точке (1; 0);

¶е) уравнение параболы, уравнение директрисы которой имеет вид .

¶ 10.4. Определите вид кривой второго порядка и постройте ее:

а) ; б) ; в) ; г) .

Методические указания по выполнению работы:

Кривая второго порядка – линия на плоскости, задаваемая уравнением: Ах²+2Вху+Су²+2Dx+2Ey+F=0, где коэффициенты А, В, С, D, E, F – любые действительные числа при условии, что А, В, С одновременно не равны нулю.

Выделяют следующие кривые второго порядка:

1. Окружность - множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.

2. Эллипс - множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

3. Гипербола - множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная (меньшая, чем расстояние между фокусами).

4. Парабола -множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки (называется фокусом) и данной прямой (называется директрисой).

Для того чтобы по заданному уравнению определить вид кривой второго порядка, удобно использовать следующую обобщающую таблицу:

№	Название	Уравнение	Вид кривой
	Окружность		O(a; b) · R · · · · A2(a; 0) x A1(-a; 0) B1(0; b) B2(0; -b) у
	Эллипс		0
	Гипербола		· · A1(-a; 0) B1(0; b) B2(0; -b) · · x y A2(a; 0)
	Парабола		· F(;0) 0 x=-

Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример 1. Составьте уравнение окружности с центром О (3; -2) и радиусом r = 5.

Решение. Подставив a = 3, b = -2 и r = 5 в каноническое уравнение окружности , получим: .

Пример 2. Постройте эллипс, заданный уравнением 6 x ² + y ² = 32.

Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду , для этого разделим все члены уравнения на 32, добиваясь того, чтобы в правой части была 1:

.

При сравнении с каноническим видом отмечаем, что a ² = 16, b ² = 32, откуда a = 4, b = .

Эллипс будет иметь вид (рис. 1):

·

·

·

·

-4

x

y

Рис. 1

Пример 3. Постройте гиперболу, заданную уравнением 16 x ² – 25 y ² = 400.

Решение. Приведем уравнение к каноническому виду. Для этого разделим все его члены на 400: .

Из этого уравнения можем записать a ² = 25, b ² = 16, т.е. a = 5, b = 4.

y

Выполним чертеж (рис. 2). Отметим, что ветви гиперболы будут стремиться к асимптотам, в качестве которых выступают диагонали прямоугольника со сторонами a = 5 и b = 4.

x

-5

-4

·

·

·

·

Рис. 2

Рис. 3

·

F(;0)

0

x=-2

х

у

Пример 4. Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением y ²=8 x и постройте её.

Решение. Из канонического уравнения параболы y²=2px следует, что 2 p =8, т.е. p =4, откуда p /2=2. Значит, точка F (2; 0) – фокус параболы, а x =2 – уравнение ее директрисы.

На основании определения: любая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, - схематически строим график параболы (рис. 3).

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 3, §3.7, стр. 72 – 75.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 5, §25 – 28, стр. 145-170.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 3, §7, стр. 152 – 160.