Операции над векторами в координатах

№	Вид операции	Исходные данные	Операции в координатах
	Координаты вектора	А (х1; у1); В (х2;у2)
	Длина вектора
	Сложение и вычитание векторов
	Умножение вектора на число	;
	Скалярное произведение векторов
	Угол между векторами
	Координаты середины отрезка	А (х1; у1); В (х2;у2)
	Расстояние между точками	А (х1; у1); В (х2;у2)

Теорема 1. Если векторы и коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны:

если = (х₁; у₁) и = (х₂; у₂) коллинеарны, то .

Теорема 2. Если ненулевые векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и наоборот, если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны: () .

Пример 1. Даны точки А (4;-3), В (-2;-9).

Найти: 1) координаты вектора ;

2) длину вектора ;

3) координаты точки М – середины АВ.

Решение:

1) Воспользуемся формулой нахождения координат вектора: .

Тогда ; .

2) Зная координаты вектора , найдем его длину по формуле: .

.

3) Пусть точка М – середина отрезка АВ. Тогда ее координаты находятся по формуле: : М ; М (1; -6).

Ответ: =(-6; -6), , М (1; -6).

^

Пример 2. Даны , .

Найдите: 1) ; 2) ; 3)

Решение:

1) Вектор задан в виде разложения по базисным векторам . Его координаты находятся как коэффициенты разложения вектора по базису: .

Найдем координаты векторов и по формуле: . Тогда

= (6; -10); = (12; 3).

Воспользуемся формулой нахождения суммы и разности векторов: . Получим, что = (6-12; -10-3); = (-6; -13).

2) Воспользуемся формулой нахождения скалярного произведения векторов: .

Получим: ;

; .

^

3) Найдем косинус угла между векторами по формуле = .

;

^

;

=

^

Ответ: 1) = (-6; -13); 2) ; 3) = .

Пример 3. При каком значении n векторы ,

1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

Решение:

1) Воспользуемся теоремой 1: если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны. Получим, что

; .

Следовательно, при n = – 4 векторы и коллинеарны.

2) Воспользуемся теоремой 2: если .

Þ –2 + 8 n = 0; 8 n = 2; n = ; n = ; n = 0,25.

Следовательно, при n = 0,25 векторы и перпендикулярны.

Ответ: 1) n = – 4; 2) n = 0,25.

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 3, §3.1, 3.2, стр. 53 – 60.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 2, § 8 – 10, стр. 63 – 73.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 3, §1 - 4, стр. 125 - 141.