Тестирование стационарности временного ряда

Стационарные временные ряды имеют следующие отличительные черты: значения ряда колеблются вокруг постоянного среднего значения с постоянной дисперсией, которая не зависит от времени, АКФ затухает с увеличением лага. При анализе экономических явлений чаще приходится иметь дело с нестационарными временными рядами, которые не имеют постоянного среднего, дисперсия которых зависит от времени, а АКФ затухает очень медленно. Для подбора модели ряда и прогнозирования его значений необходимо уметь. распознавать тип временного ряда.

Рассмотрим процесс авторегрессии первого порядка

Ряд является стационарным рядом, если . Если то

нестационарный временной ряд - случайное блуждание со сдвигом: в этом случае считают, что временной ряд имеет единичный корень.

Вычтем из обеих частей модели: где . Дики и Фуллер рассмотрели три регрессии:

Вторая регрессия содержит постоянный элемент ,а третья, кроме этого, и линейный временной тренд. Во всех трех регрессиях интересующий параметр .

Нулевая гипотеза против альтернативы

Тест Дики-Фуллера (Dickey-Fuller) состоит в следующем. Оцениваются методом наименьших квадратов одно из указанных выше уравнений.

Получают оценку , стандартную ошибку и соответствующее значение ( - статистики. Сравнивая значение ( - статистики с табличным, определяют, принять или отклонить . Критическое значение ( -статистики имеет нестандартное распределение и зависит от формы регрессии и объема выборки.

Критические значения не изменятся, если указанные выше модели заменить авторегрессионным процессом произвольного порядка:

Для последних моделей Дики и Фуллер предложили три дополнительные статистики для тестирования обобщенных гипотез о коэффициентах:

Статистики констатируются как тест где и - квадраты ошибок короткой и длинной регрессий, - число исключенных переменных, - число наблюдений, - число параметров в длинной регрессии. Большие значения ведут к отклонению нулевой гипотезы. Критические значения статистик вычислены Дики и Фуллером и затабулированы.