Тригонометрические неравенства

Определение 8.5. Неравенства, содержащие тригонометрические функции, называются тригонометрическими.

При решение тригонометрических неравенств используют периодичность тригонометрических функций и их монотонность на соответствующих промежутках.

Функции и имеют наименьший положительный период . Поэтому неравенства вида

, , , ,

, , ,

достаточно решить сначала на каком-либо отрезке длины , тогда множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида , .

Пример 8.32. Решить неравенство .

Решение. На отрезке функция монотонно убывает, а уравнение имеет одно решение (рис. 8.2)

рис. 8.2.

На отрезке функция монотонно возрастает, и уравнение имеет решение .

Значения из отрезка являются решениями данного неравенства на отрезке . Таким образом, множество решений неравенства на отрезке есть объединение отрезков .

Функция периодична с периодом , поэтому все значения , каждое из которых удовлетворяет неравенствам

, , ,

являются решениями исходного неравенства или

, .

Ответ можно записать в более компактном виде:

, .