Задача о диете

В продаже имеются различные виды продуктов. Известны содержания питательных веществ в единице каждого вида продукта, цена продуктов, медицинские требования на содержание питательных веществ в суточной диете. Требуется определить, какие продукты и в каком количестве нужно включить в диету, чтобы она соответствовала всем медицинским требованиям и чтобы стоимость диеты была минимальной.

Составим математическую модель данной задачи.

Введем обозначения:

j - номер j -го продукта, ;

i - номер i -го питательного вещества, ;

a_ij -содержание i -го питательного вещества в единице j -го продукта;

b_i - минимальное содержание i -го питательного вещества в суточной диете;

c_j - цена единицы j -го продукта.

Все данные занесем в таблицу:

Виды продуктов Виды питательных веществ	1 2 … j … n	Медицинские требования к диете
… i … m	a 11 a 12 … a 1 j … a 1 n a 21 a 22 … a 2 j … a 2 n … ai 1 ai 2 … aij … ain … am 1 am 2 … amj … amn	b 1 b 2 … bi … bm
Цена единицы продукта	c 1 c 2 … cj … cn

Пусть x_j единиц j -го продукта включается в суточную диету, тогда - суточная диета.

Цена диеты:

c ₁ x ₁ + c ₂ x ₂ +…+ c_nx_{n .}

Если в диету включаем x ₁, x ₂, …, x_n единиц каждого продукта, то содержание первого питательного вещества в диете составит

a ₁₁ x ₁+ a ₁₂ x ₂+…+ a _{1 j}x_j +…+ a _{1 n}x_n,

и это должно быть не менее чем b ₁ единиц, т.е. получаем неравенство

a ₁₁ x ₁+ a ₁₂ x ₂+…+ a _{1 j} x_j +…+ a _{1 n} x_n ³ b ₁.

Аналогично составляем ограничения по всем видам питательных веществ.

Кроме того, x_j ³ 0, так как количество продуктов не может быть отрицательным числом.

Математическая модель задачи: найти минимум функции

при ограничениях:

,

Таким образом, математической моделью данной задачи является ЗЛП.

Задача на оптимальный раскрой материала (по длине)

Имеются прутки одинаковой длины, из которых нужно нарезать определенное количество заготовок заданной длины. Прутки можно нарезать на заготовки по различным вариантам. При каждом варианте нарезания прутков остаются концевые отрезки.

Требуется определить, какое количество прутков следует разрезать по каждому варианту, чтобы получить заданное количество заготовок различной длины и чтобы общая длина концевых отрезков была минимальной.

Составим математическую модель данной задачи.

Введем обозначения:

i - номер i -го вида заготовки, ;

j - номер j -го варианта раскроя прутка, ;

a_ij - количество заготовок i -го вида, получаемых из одного прутка, разрезаемого по j -му варианту;

b_i - требуемое число заготовок i -го вида;

c_j - длина концевого отрезка, оставшегося от одного прутка при разрезании прутка по j -му варианту.

Все данные занесем в таблицу:

Варианты Раскроя Виды заготовок	1 2 … j … n	План по заготовкам
… i … m	a 11 a 12 … a 1 j … a 1 n a 21 a 22 … a 2 j … a 2 n … ai 1 ai 2 … aij … ain … am 1 am 2 … amj … amn	b 1 b 2 … bi … bm
Длина концевого отрезка	c 1 c 2 … cj … cn

Обозначим через х_j - число прутков, разрезаемых по j- муварианту, тогда - план раскроя прутков. Найдем общую длину концевых отрезков.

По первому варианту планируем разрезать x ₁ прутков, концевой отрезок от одного прутка будет иметь длину с ₁, тогда общая длина концевых отрезков от х ₁ прутков составит c ₁ x ₁. Аналогично, общая длина концевых отрезков от х ₂ прутков, разрезанных по второму варианту, будет равна c ₂ x ₂ и т.д.

Следовательно, общая длина концевых отрезков при разрезании прутков по всем вариантам

.

Составим ограничения по заготовкам.

Заготовок первого вида получают из одного прутка, разрезаемого по первому варианту, a ₁₁ штук, а из x ₁ прутков - a ₁₁ x ₁; по второму варианту из одного прутка получают a ₁₂ штук, а из x ₂ прутков - a ₁₂ x ₂ и т.д., по n -му варианту - a _{1 n}x_n штук. Отсюда получаем первое ограничение

a ₁₁ x ₁+ a ₁₂ x ₂+…+ a _{1 n}x_n = b _1.

Аналогично получаем ограничения по всем заготовкам.

Кроме того, так как число прутков не может быть отрицательным.

Математическая модель задачи: найти наименьшее значение функции

при ограничениях:

,

Таким образом, математической моделью данной задачи является ЗЛП.

Пример 1. Имеются прутки длиной 1 м. Требуется нарезать 200 заготовок длиной 25 см, 250 заготовок длиной 30 см и 150 заготовок длиной 35 см. Количество заготовок, которые можно нарезать из одного прутка по различным вариантам, а также длина концевых отрезков даны в таблице:

Варианты раскроя Виды заготовок										План на заготовки
1 (25 см)
2 (30 см)
3 (35 см)
Длина концевого отрезка, см

Требуется определить, сколько прутков необходимо разрезать по каждому варианту, чтобы выполнить план по заготовкам и чтобы общая длина концевых отрезков была минимальной.

Составим математическую модель задачи.

Пусть x_j - количество прутков, разрезанных по j -му варианту, , тогда - план раскроя.

Найдем общую длину концевых отрезков, для этого длину концевого отрезка, оставшегося от одного прутка, умножим на количество прутков, разрезаемых по данному варианту. Получим

0 х ₁+10 х ₂+0 х ₃+5 х ₄+10 х ₅+20 х ₆+15 х ₇+5 х ₈+15 х ₉.

Тогда целевая функция запишется так:

.

Составим ограничения по заготовкам, для этого количество заготовок, полученных из одного прутка, умножим на число прутков, разрезаемых по данному варианту, т.е.

4 х ₁ + х ₄+ х ₅+2 х ₆+2 х ₇+ х ₉,

а всего заготовок первого вида требуется 200 штук. Получим уравнение

4 х ₁ + х ₄+ х ₅+2 х ₆+2 х ₇+ х ₉ = 200.

Аналогично получим ограничения по второму и третьему виду заготовок:

3 х ₂+ х ₃ + х ₅+ х ₆ +2 х ₈+2 х ₉ =250,

2 х ₃+2 х ₄ + х ₅ + х ₇ + х ₈ = 150.

Кроме того, , так как число прутков не может быть отрицательным. Математическая модель задачи: найти наименьшее значение функции

при ограничениях:

.

Пример 2. Для производства двух видов продукции используется три вида сырья. Расход сырья на производство единицы каждого вида продукции, запасы, а также прибыль от реализации единиц каждого вида сырья заданы в таблице:

Виды Виды продукции сырья	1 2	Запасы сырья, кг
	3 8 4 5 9 4
Прибыль от реализации единицы продукции, у.е.	2 3

Составить план выпуска продукции, дающий максимальную прибыль.

Для этого составим математическую модель задачи: обозначим через х ₁, х ₂ - планируемый выпуск продукции.

Найдем прибыль: 2 х ₁ (у.е.) - это прибыль от х ₁ единиц первого вида продукции и 3 х ₂ (у.е.) - прибыль от х ₂ единиц второго вида продукции, а всего 2 х ₁+3 х ₂ - прибыль от реализации х ₁ единиц первого вида продукции и х ₂ единиц второго вида продукции.

Составим ограничение по первому виду сырья:

3 х ₁+8 х ₂ - расход первого вида сырья на выпуск х ₁ единиц первого вида продукции и х ₂ единиц второго вида продукции, а всего первого вида сырья имеется 240, следовательно, получим неравенство 3 х ₁+8 х ₂ £ 240.

Аналогично, по второму и третьему видам сырья:

4 х ₁+5 х ₂ £ 200,

9 х ₁+4 х ₂ £ 360.

Кроме того, х ₁ ³0, х ₂ ³0, так как количество выпускаемой продукции не может быть отрицательным числом.

Математическая модель задачи: найти наибольшее значение функции

при ограничениях:

х ₁ ³0, х ₂ ³0.