Задача об оптимальном использовании ресурсов

Предприятие может выпускать определенные виды продукции, используя для этого различные виды ресурсов. Известны затраты каждого вида ресурса на производство единицы каждого вида продукции и прибыль от реализации единицы каждого вида продукции. Требуется составить план выпуска продукции, чтобы при данных запасах ресурсов получить максимальную прибыль.

Составим математическую модель данной задачи.

Введем обозначения:

i - номер i -го вида ресурса, ;

b_i - запасы i -го вида ресурса, ;

j - номер j -го вида продукции, ;

a_ij - затраты i -го вида ресурса на производство единицы j -го вида продукции;

c_j - прибыль от реализации единицы j -го вида продукции.

Все данные занесем в таблицу:

Обозначим через x_j - планируемый выпуск j -го вида продукции; - план выпуска продукции. Тогда прибыль от реализации всей выпускаемой продукции составит

c ₁ x ₁ + c ₂ x ₂ +…+ c_jx_j +…+ c_nx_n.

Составим ограничения по ресурсам. Найдем расход первого вида ресурса:

a ₁₁ x ₁+ a ₁₂ x ₂+…+ a _{1 j}х_j +…+ a _{1 n}x_n.

Первый вид ресурса имеется в наличии b ₁ условных единиц, т.е. получаем ограничение a ₁₁ x ₁+ a ₁₂ x ₂+…+ a _{1 j}x_j +…+ a _{1 n}x_n £ b ₁.

Аналогично составляем ограничения по всем остальным видам ресурсов.

Кроме того, x_j ³ 0, , так как количество продукции не может быть отрицательным числом.

Получим ЗЛП: найти наибольшее значение функции при ограничениях:

,

Таким образом, математической моделью данной задачи является ЗЛП.