Функции на отрезке

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки функции и выбрать те, которые принадлежат данному отрезку.

3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Пример 10.11. Найти точку максимума функции .

Решение. 1.

2. Найдем производную функции: .

3. Критические точки:

.

Производная существует во всех точках области определения функции.

4. Отметим найденные точки на числовой оси и определим знак производной справа и слева от этих точек:

При переходе через точку знак производной меняет свой знак с плюса на минус, следовательно, в силу теоремы 10.4, - точка максимума.

Ответ: .

Пример 10.12. Найти наименьшее значение функции на отрезке .

Решение. Воспользуемся схемой нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, представленной выше.

1. Найдем производную функции: .

2. Критические точки:

.

Отрезку принадлежит только точка .

3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

.

4. Наименьшее значение .

Ответ: .