2015-04-01
905
Комплексное число 
можно изобразить на координатной плоскости 
(комплексной области) точкой с координатами 
, либо радиус-вектором 
(рис. 11.1).
| Определение 11.5. Длина вектора  называется модулем комплексного числа:  .
Определение 11.6. Угол  , образованный вектором и осью  называется аргументом комплексного
|
| рис. 11.1. |
числа. Обозначают 
, причем
, 
.
Здесь 
- главное значение аргумента.
Замечание 11.2. Из рис. 12.1 видно, что справедливы следующие равенства: 
, 
.
Учитывая замечание 12.2, можно сформулировать следующее определение.
Определение 11.7. Тригонометрической формой комплексного числа называется запись вида
.
С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.
Пусть 
, 
, тогда
,
.
Возведение комплексного числа 
в натуральную степень 
находится по формуле
 .
| (11.1) |
Корень -ой степени из комплексного числа имеет различных значений, которые выражаются формулой
 , где  .
| (11.2) |
Замечание 11.1. Точки, соответствующие значениям 
, являются вершинами правильного 
угольника, вписанного в окружность радиуса 
с центром в начале координат.
|
|
|
Формулы (11.1) и (11.2) называются формулами Муавра-Лапласа.
Определение 11.8. Показательной формой комплексного числа называется запись вида
.
Пример 11.2. Записать комплексное число 
в алгебраической форме.
Решение. 
.
Пример 11.3. Записать в тригонометрической форме комплексные числа:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
Решение. 1) 
, откуда 
.
2) 
, откуда 
.
3) 
, откуда 
.
Пример 11.4. Вычислить 
.
Решение. Представим комплексное число 
в тригонометрической форме: 
, 
, следовательно,
.
Тогда в силу формулы (11.1) имеем
.
Пример 11.5. Найти все значения корня: 
.
Решение. Представим комплексное число 
в тригонометрической форме: 
, 
, следовательно,
.
Тогда в силу формулы (11.2) получаем
, где 
.
При 
: 
.
При 
: 
.
При 
: 
.
