2015-04-01
5408
Характеристики реальных нелинейных элементов, которые определяют обычно с помощью экспериментальных исследований, имеют сложный вид и представляются в виде таблиц или графиков. В то же время для анализа и расчета цепей необходимо аналитическое представление характеристик, т.е. представление в виде достаточно простых функций. Процесс составления аналитического выражения для характеристик, представленных графически или таблично, называется аппроксимацией.
При аппроксимации решаются следующие проблемы:
1. Определение области аппроксимации, которая зависит от диапазона изменения входных сигналов.
2. Определение точности аппроксимации. Понятно, что аппроксимация дает приблизительное представление характеристики в виде какого-либо аналитического выражения. Поэтому необходимо количественно оценить степень приближения аппроксимирующей функции к экспериментально определенной характеристике. Чаще всего используются:
показатель равномерного приближения – аппроксимирующая функция 
не должна отличаться от заданной функции 
более чем на некоторое число 
, т.е.
;
показатель среднего квадратического приближения – аппроксимирующая функция не должна отличаться от заданной функции 
в среднем квадратическом приближении более чем на некоторое число , т.е.
;
узловое приближение (интерполяционное) – аппроксимирующая функция должна совпадать с заданной функцией в некоторых выбранных точках.
Существуют различные способы аппроксимации. Наиболее часто для аппроксимации ВАХ применяют аппроксимацию степенным полиномом и кусочно-линейную аппроксимацию, реже – аппроксимацию с использованием показательных, тригонометрических или специальных функций (Бесселя, Эрмита и др.).
7.2.1. Аппроксимация степенным полиномом
Нелинейную вольт-амперную характеристику в окрестности рабочей точки 
представляют конечным числом слагаемых ряда Тейлора:
.
Количество членов ряда определяется требуемой точностью аппроксимации. Чем больше членов ряда, тем точнее аппроксимация. На практике необходимой точности добиваются, используя аппроксимацию полиномами второй и третьей степени. Коэффициенты 
– это числа, которые достаточно просто определяются из графика ВАХ, что иллюстрируется примером.
Пример.
Аппроксимировать представленную на рис. 7.1,а ВАХ 
в окрестности рабочей точки 
степенным полиномом второй степени, т.е. полиномом вида
.
Выберем область аппроксимации 
от 0,2 В до 0,6 В. Для решения задачи необходимо определить три коэффициента 
. Поэтому ограничимся тремя узловыми точками (в середине и на границах выбранного диапазона), для которых составляем систему трех уравнений:
;
;
.
Рис. 7.1. Аппроксимация ВАХ транзистора
Решая систему уравнений, определяем 
, 
, 
. Следовательно, аналитическое выражение, описывающее график ВАХ, имеет вид
.
Заметим, что аппроксимация степенным полиномом используется в основном для описания отдельных фрагментов характеристик. При значительных отклонениях входного сигнала от рабочей точки точность аппроксимации может значительно ухудшиться.
Если ВАХ задана не графически, а какой-либо аналитической функцией и возникла необходимость представить ее степенным полиномом, то коэффициенты 
вычисляются по известной формуле [1,10]
.
Нетрудно заметить, что 
представляет собой крутизну ВАХ в рабочей точке. Значение крутизны существенно зависит от положения рабочей точки.
В некоторых случаях удобнее характеристику представлять рядом Маклорена
.
7.2.2. Кусочно-линейная аппроксимация
Если входной сигнал изменяется по величине в больших пределах, то ВАХ можно аппроксимировать ломаной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых. На рис. 7.1,б показана ВАХ транзистора, аппроксимированная тремя отрезками прямых.
Математическая формула аппроксимированной ВАХ
Данный вид аппроксимации связан с двумя важными параметрами нелинейного элемента: напряжением начала характеристики 
и ее крутизной 
. Для увеличения точности аппроксимации увеличивают количество отрезков линий. Однако это усложняет математическую формулу ВАХ.
