Однородные линейные алгебраические системы

Определение 8. Однородные линейные алгебраические системы составлены из уравнений, у которых правые части раны нулю:

A = – Матрица системы,

Х = – матрица-столбец неизвестных,

Тогда матричная форма записи системы будет: АХ=0

Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение =0, =0,…, =0 или Х=0. Для существования ненулевого решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных, т.е. чтобы r= r(A) n (при m=n это условие означает, что detA=0).

Определение 9. Пусть Q - множество всех решений однородной системы. Всякий базис в множестве Q состоит из n-r векторов , ,…, .Соответствующая ему в каноническом базисе система вектор-столбцов , , …, называется фундаментальной системой решений.

Общее решение однородной системы имеет вид:

Х= + +…+ , где , ,…, –произвольные постоянные.

Базисные решения , ,…, могут быть получены с помощью элементарных преобразований матрицы системы приведением ее к ступенчатому виду, если независимым неизвестным придавать поочередно значение 1, полагая остальные равным нулю. Если задана неоднородная система АХ=b, то ее общее решение может быть найдено как сумма общего решения соответствующей однородной системы АХ=0 и произвольного частного решения неоднородной системы.

Пример 4. Найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений.

Решение.

(2)-(1) (3)-(1) (3)-2(2) 2(1)

(1)+(2) .

-з -з

Общее решение системы

Найдем фундаментальную систему решений.

Так как r(A)=2,n=4, то независимых неизвестных будет n-r=2 т.е. фундаментальная система будет состоять из двух векторов.

			-

Таким образом, = , = -образуют фундаментальную систему решений. Общее решение системы есть Х= + .

Ответ: векторы , образуют фундаментальную систему решений, общее решение системы будет Х= + , , –произвольные постоянные, = , = .

Задания для самостоятельного решения.

1. Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом.

а) б)

2. Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом.

3. Решить системы уравнений:

а) б) в)

Указание. Записать все три системы в виде одного матричного уравнения.

· = , т.е. в виде АХ=В, или Х= ·В.

4. Является система векторов линейно зависимой или нет?

a) б) в) г)

5. Проверить, что система векторов образует базис в , и найти разложение вектораd в этом базисе, если:

а) , ,

б) , ,

в) , ,

6. Найти методом Гаусса все решения системы

7. Исследовать систему уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли.

.

8. Исследовать системы уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли и решить их.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

9. Исследовать совместимость и найти общее решение следующих систем:

а) б)

в)

г) д)

е) ж)

10. Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующих систем:

а)

б)

в) г)

д)

11. Найти общие решения неоднородных систем, используя фундаментальную систему решений соответствующих однородных:

а)

б)