Ортогонализация системы векторов

Покажем, что каждую линейно независимую систему векторов можно преобразовать в ортогональную систему.

В основе построения ортогональной системы, лежит понятие ортогональной составляющей вектора относительно системы векторов. Вектор

называется ортогональной составляющей вектора а относительно ортогональной системы ненулевых векторов b₁, b₂, …, b_n.

Ортогональная составляющая а ⁰ вектор а относительно ортогональной системы не нулевых векторов b₁, b₂, …, b_n ортогональна каждому вектору этой системы.

Действительно:

,

так как b_ib_j = 0 для i ≠ j.

Пример. Найти ортогональную составляющую вектора а = (1, 1, 1, -1) относительно ортогональной системы b₁ = (1, 0, 1, 0); b₂ = (-1, 1, 1, 1); b₃ = (1, 1, -1, 1).

Имеем:

= 2; 2; 0; = 0