При поворотах системы координат

Пусть и две декартовы системы координат, повернутые друг относительно друга, с базисными векторами (ортами) , , образующими правые ортонормированные тройки. Поскольку системы координат и декартовы, то и .

Здесь - символКронекера.

Произвольный вектор можно разложить подобно радиус-вектору по ортам обеих систем координат:

(Данные выражения записаны с использованием правила Эйнштейна, которое подразумевает суммирование по парам повторяющихся индексов, в то время как знак суммы опускается. Это правило будет использовано в дальнейшем).

Величины и называются компонентами вектора и являются ортогональными проекциями данного вектора на орты и :

, и .

Установим связь между проекциями вектора на различные базисные орты:

(2.1)

где - матричные элементы матрицы поворота . Если объединить компоненты в одностолбцовую матрицу , а компоненты в одностолбцовую матрицу , то закон преобразования компонент вектора можно записать в матричных обозначениях:

Задание. Убедиться в справедливости последнего равенства, раскрыв в явном виде произведение матриц.

Докажем, что матрица ортогональна, т.е. :

При выводе мы воспользовались свойствами скалярного произведения и тем, что , поскольку левая часть равенства представляет собой разложение базисного орта по базисным ортам .

Задание. Докажите, что

С учетом закона преобразования компонент вектора при повороте системы координат можно дать следующее определение вектора:

Вектором называется трехкомпонентная величина, компоненты которой преобразуются при повороте системы координат так же, как компоненты радиус-вектора по правилу (2.1) с помощью матрицы поворота .

Такое определение вектора допускает обобщение на случай величин с числом компонент, большим трех. Так возможны девятикомпонентные

величины, компоненты которых нумеруются двумя векторными индексами , каждый из которых пробегает независимо значения 1,2,3. Возможны 27-и

компонентные величины, компоненты которых нумеруются тремя векторными индексами. Наконец, возможны - компонентные величины, компоненты которых нумеруются N векторными индексами (векторные индексы независимо пробегают множество значений 1,2,3). Если компоненты этих многокомпонентных величин преобразуются по законам:

то эти многокомпонентные величины называются тензорами соответственно второго, третьего и N-ранга. Ранг тензора определяется числом векторных индексов, нумерующих его компоненты. Максимальное число независимых компонент тензора ранга N равно в случае трехмерного пространства.

Вопрос. Чему равно число независимых компонент тензора ранга N в случае двумерного пространства?

Компоненты тензора второго ранга естественно объединяются в квадратную матрицу со следующим законом преобразования матричных элементов:

или ,

где и квадратные матрицы с матричными элементами и .

Очевидно, что вектор является тензором первого ранга, а скаляр - нулевого. Ранг тензора также называют тензорной размерностью, или валентностью.