Задачи. 3.1 Даны скаляр и тензор третьего ранга

3.1 Даны скаляр и тензор третьего ранга . Доказать,что - тензор третьего ранга.

3.2 Даны тензоры второго ранга и . Доказать, что - тензор второго ранга.

Решение задачи 3.2 Выполним покомпонентное сложение этих тензоров в повернутой системе координат. . Или, . Отсюда следует, что сумма данных тензоров при повороте системы координат преобразуется по закону преобразования компонент тензора второго ранга, что и требовалось доказать.

3.3 Даны векторы и . Доказать, что множество величин образуют тензор второго ранга. Такой тензор иногда называют диадой.

Решение задачи 3.3 Составим множество аналогичных величин из компонент векторов и в повернутой системе координат . Отсюда следует, что внешнее произведение двух векторных величин при повороте системы координат преобразуется по закону преобразования компонент тензора второго ранга, что и требовалось доказать.

3.4 Даны вектор и тензор второго ранга . Доказать, что множество величин образуют тензор третьего ранга.

3.5 Дан вектор . Показать, что сумма не является скалярной величиной. (Т.е. не имеет тензорную природу).

Решение задачи 5.5. Рассмотрим конкретный пример, и убедимся, что указанная сумма изменится при повороте системы координат. Пусть в исходной системе координат компонента вектора . Модуль данного вектора . Повернем систему координат так, чтобы новая ось OX была параллельна данному вектору. Очевидно, что в такой системе координат его компоненты . В исходной системе координат сумма , а в новой, соответственно: .

3.6 Дан тензор второго ранга . Доказать, что множество величин, задаваемых равенствами , образует тензор второго ранга.

3.7 Дан тензор третьего ранга . Доказать, что множество величин образуют тензор третьего ранга.

3.8 Даны скаляр и вектор . Доказать, что трехкомпонентная величина не является величиной тензорной природы.

3.9 Доказать, что свертка тензора второго ранга является скаляром: . Такая свертка часто называется следом тензора .

Замечание. Здесь и в дальнейшем знаки сумм будут зачастую опускаться, и использоваться правило суммирования Эйнштейна.

3.10 Даны тензоры второго ранга и . Доказать, что множество величин образуют тензор четвертого ранга.

3.11 Найти вектор и вектор , где векторы и равны:

3.11.1

3.11.2

3.11.3

3.11.4

3.12 Найти тензор и тензор , где и являются тензорами в двумерном пространстве и их компоненты равны:

3.12.1

3.12.2

3.12.3

3.13 Вычислить след тензоров и , где тензоры и определены в задании 3.12

3.14 В двумерном пространстве заданы векторы и , а так же тензоры второго ранга и . Найти тензорную размерность приведенных ниже величин и вычислить все их компоненты:

3.14.1 3.14.2

3.14.3 3.14.4

3.14.5 3.14.5

3.17.6 3.14.7

3.14.9 3.14.10

3.14.11 3.14.12

3.14.13 3.14.14

3.14.15 3.14.16

Компоненты векторов и и тензоров и заданы ниже:

3.15 Тоже, что и в задании 3.14, но для других векторов и и тензоров и с компонентами:

3.16 Тоже, что и в задании 3.14, но для других векторов и и тензоров и с компонентами:

3.17 В случае двумерного пространства убедиться, что след тензора второго ранга (сумма диагональных элементов тензора) в системе координат, повернутой на угол относительно исходной, равен следу тензора в исходной системе координат.

3.18 В случае трехмерного пространства доказать, что след тензора второго ранга одинаков во всех системах координат.

Решение задачи 3.18 Вычислим след тензора в повернутой системе координат.

В данном примере мы не будем опускать символ суммирования по индексам.

. Используя далее свойство ортогональности матрицы поворота , получим

Так компоненты единичного тензора равны единице при совпадающих значениях индексов, и равны нулю в случае несовпадения значений индексов, в данную сумму может внести вклад только первое, пятое и девятое слагаемые. Итого .