Задачи. 1.1 Для сферической и цилиндрической систем координат найти уравнения координатных поверхностей и координатных линий

1.1 Для сферической и цилиндрической систем координат найти уравнения координатных поверхностей и координатных линий.

1.2 Записать квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в сферической системе координат. (Для сферической системы координат , , ).

Решение задачи 1.2 Искомая величина равна сумме квадратов полных дифференциалов декартовых координат . Для их вычисления используем формулу .

В результате получим

. Раскроем скобки и упростим выражение. Итого:

1.3 Записать квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в цилиндрической системе координат. (Для цилиндрической системы координат , , ).

Решение задачи 1.3 Вычислим сумму квадратов полных дифференциалов декартовых координат:

1.4 Найти коэффициенты Ламе для сферической и цилиндрической систем координат.

Решение задачи 1.4 Искомые значения коэффициентов Ламе легко найти, используя их определение и ответы к задачам 1.2 и 1.3.

Для сферической системы координат:

.

Для цилиндрической системы координат:

.

1.5 Записать формулы для длин ребер, площадей граней и объема бесконечно малого параллелепипеда, ограниченного координатными плоскостями, в сферической и цилиндрической системах координат.

1.6 Получить формулы для градиента скалярного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

Решение задачи 1.6 для сферической системы координат. Подставим в выражение (1.1) найденные выше коэффициенты Ламе. Получим:

1.7 Получить формулы для дивергенции векторного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

Решение задачи 1.7 для сферической системы координат. Подставим в выражение (1.2) найденные выше коэффициенты Ламе. Получим:

1.8 Получить формулы для ротора векторного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

1.9 Получить формулы для лапласиана скалярного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

Решение задачи 1.9 Подставим в выражение (1.4) соответствующие коэффициенты Ламе. В итоге получим для сферической системы координат:

Соответственно для цилиндрической системы координат:

1.10 Найти , в сферической системе координат для функций:

а) , б) , в)

1.11 Найти , , , в цилиндрической системе координат для функций:

а) , б) .