Одноканальная модель СМО с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительности обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид

f₁(t) = le^-lt, (5.1)

где l – интенсивность поступления заявок в систему.

Плотность распределения длительностей обслуживания:

f₂(t) = me^-mt, (5.2)

где m – интенсивность обслуживания.

Потоки заявок и обслуживаний простейшие.

Пусть система работает с отказами. Необходимо определить, абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Представим данную систему массового обслуживания в видеграфа (рис. 2.1), у которого имеются два состояния: S₀ – канал свободен (ожидание); S₁ – канал занят (идет обслуживание заявки).

Рис. 5.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Обозначим вероятности состояний:

P₀(t) – вероятность состояния «канал свободен»;

P₁(t) – вероятность состояния «канал занят».

По размеченному графу состояний (рис. 5.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

. (5.3)

Система линейных дифференциальных уравнений (3) имеет решение с учетом нормировочного условия P₀(t) + P₁(t) = 1. Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим образом:

(5.4)

P1(t) = 1 – P0(t). (5.5)

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность P₀(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.

Действительно, P₀ – вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P₀(t),т.е.

q = P₀(t). (5.6)

По истечении большого интервала времени (при ) достигается стационарный (установившийся) режим:

, (5.7)

где q – относительная пропускная способность(доля обслуженных заявок от общего их количества, поступающего в систему).

Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность А – среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

(5.8)

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:

(5.9)

Данная величина P_отк может быть интерпретирована как средняя доля не обслуженных заявок среди поданных.

Пример 1. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей l = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания t_об =1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживаний являются простейшими. Требуется определить в установившемся режиме предельные значения: относительной пропускной способности q; абсолютной пропускной способности А; вероятности отказа Р_отк. Сравните фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Решение

1. Определим интенсивность потока обслуживания:

авто/час.

2. Вычислим относительную пропускную способность:

Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост ЕО автомобилей.

3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:

А = lq = 1×0,356 = 0,356 авто.

Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.

4. Вероятность отказа:

P_отк = 1 - q = 1 - 0,356 = 0,644.

Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.

5. Определим номинальную пропускную способность системы:

(автомобилей в час).

Оказывается, что А_ном в 1,5 раза (0,555/0,356» 1,5) больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.

Задача 1. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телефонном ателье поступают с интенсивностью, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону t_o6=2 мин.

Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.