2015-04-01
414
Задана исходная игра:
(1)
И ее информационное расширение:
(2)
Пусть игрок 1 ходит первым, то есть выбирает 
и сообщает второму. Игрок 1 знает принцип оптимальности игрока 2 и может оценить его реакцию – возможный ответ.
Тогда игроку 1 гарантируется выигрыш
(3)
Максимальный гарантированный результат (МГР) игрока 1 равен:
(4)
а оптимальная стратегия 
определяется равенством:
(5)
Итак, смысл ОП МГР заключается в следующем:
Игрок 1 для каждой стратегии оценивает ответ 
игрока 2. Выбор любой стратегии 
равноценен для игрока 2, но не для игрока 1, который рассчитывает на худший (минимальный) результат (3). «Перебирая» все свои стратегии, игрок 1 выбирает оптимальную из условий (4),(5) максимизации своего выигрыша.
Замечание 1.
Во всех формулах (3)-(5) предполагается, что максимум и минимум достигается (это имеет место когда, например, 
- конечные множества). В общем случае максимум заменяется на супремум (sup), а минимум на инфинум (inf).
Пример 1. Если 
(антагонистическая игра)
, 
(игрок 1 не имеет информации о выборе противника),
|
|
|
то МГР игрока 1 (см. (4)) принимает вид
В случае
(игрок 1 знает выбор игрока 2) имеем
Напомним, что всегда
Замечание 2.
В предположении, что игрок 1 знает все параметры игрока 2, то есть знает множество 
и функцию 
- рациональный ответ игрока 2 оценивается следующим образом:
В этом случае, множество 
- множество всех эквивалентных для игрока 2 стратегий 
, доставляющих максимум его функции выигрыша при фиксированной стратегии 
игрока 1.
Замечание 3.
Если игрок 2 доброжелателен по отношению к игроку 1, то есть среди эквивалентных для игрока 2 выборов из множества он делает лучший (с точки зрения игрока 1) выбор, то МРГ игрока 1 оценивается величиной
(6)
Конечно доброжелательность исключается при антагонистическом конфликте ().
Если же 
, то в случае доброжелательности игрока 2 игрок 1 получает дополнительный выигрыш.
Пример 2.
Пусть
, 
Имеем 
Тогда
С другой стороны из условия доброжелательности получаем:
