Иерархическая игра (игра Гермейера)

Иерархическая игра определяется следующими правилами (предполагается, что игрок 1 – начальник, игрок 2 – подчиненный):

1) Игрок 1 знает все параметры модели игрока 2, то есть множество и функцию выигрыша .

2) Игрок 1 делает свой ход первым, то есть выбирает стратегию и сообщает информацию о ней игроку 2.

3) Игрок 2 при известной ему стратегии выбирает , то есть максимизирует свой критерий.

4) При наличии неопределенных факторов (в данном случае – неоднозначного выбора 2-го игрока из множества ) игрок 1 действует исходя из ОП МГР (4), а в случае доброжелательности игрока 2 в соответствии с (6).

На основании этих предположений в зависимости от информации о выборах 2-го игрока, которую игрок 1 имеет или ожидает иметь, формулируются разные игры. Рассмотрим их.

I. Игра . В этой игре: , то есть ни один из игроков заранее не знает о выборе другого. Здесь игрок 1 выбирает и сообщает об этом игроку 2, а он в свою очередь выбирает (множество точек, которое доставляет максимум функции )

Тогда в этой игре МГР 1-го игрока:

- оптимальное управление (стратегия), определяемая условием:

В случае доброжелательности игрока 2 МГР игрока 1 равен

а оптимальная стратегия определяется из условия

Можно «стимулировать» доброжелательность, используя побочный платеж . В этом случае, функция выигрыша игрока 2 примет вид:

Аналогичный прием можно использовать в играх и (смотри далее).

II. Игра . В этой игре , то есть игрок 1 перед выбором своей стратегии будет знать выбор игрока 2. Таким образом, стратегия 1-го игрока выглядит следующим образом:

III. Игра . В этой игре , то есть игрок 2 перед выбором знает . Стратегия 2-го игрока:

Однако первый игрок знает правило поведения 2-го () и поэтому его стратегия будет такой:

Замечание 5.

В играх и оптимальный выигрыш 1-го игрока определяется формулой (4). Таким образом, решение игр и сводится к вариационным и более сложным задачам. Однако далее мы конструктивно определим решение этих игр на исходном множестве управлений .

Замечание 6.

Можно рассматривать игры , ,. .. . Но оказывается, что ситуация 4 сводится к ситуации 2, ситуация 5 сводится к ситуации 3, а ситуация 6 сводится к ситуации 4 и т.д., то есть;

Из этого следует, что просчет вариантов действий в глубину не следует делать больше трех, дальше все повторяется.

Экономическая интерпретация иерархических игр Г₁, Г₂ и Г₃

Игра . Эта игра моделирует процесс управления ценами на произведенную продукцию и затрачиваемые ресурсы:

где x – ресурс,

p(x) – продукция,

- цена на продукцию,

- цена на ресурс.

Пусть фиксирована.

Найти такую, что было выгодно игроку 2.Из необходимого условия экстремума имеем:

Если , то

Игра . Эта игра моделирует процесс управления штрафами, поощрениями.

Опять пусть

«+» - премия, «-» - штраф, налог.

Тогда стимулирование выбора можно, например, произвести следующим образом (для определенности - штраф)

Игра . Эта игра моделирует процесс выдачи ресурсов, кредитования под обоснованную программу их использования

Пусть игрок 1 стимулирует реализацию ситуации . Тогда он должен стимулировать игрока 2 выбрать программу использования выделяемого ресурса:

где - произвольная функция.

Игроку 1 важно только, что выделяемый ресурс используется игроком 2 следующим образом . Поэтому оптимальная стратегия игрока 1 имеет вид

Как уже

Решение игр и сводится к вариационным и более сложным задачам. Однако далее мы конструктивно определим решение этих игр на исходном множестве управлений .