2015-04-01
868
Пример 1. Найти все собственные числа и собственные векторы для линейного оператора с матрицей А:
.
Найдём характеристическое уравнение.
= 
.
. Число –6 делится без остатка на 1,2,3 и 6.Тогда p может принимать значения 1,2,3, 6. q = +1 или –1. Поэтому среди рациональных чисел корни могут быть только +1,-1,+2,-2,+3, -3, 6,-6. Находим 3 характеристических корня: 1,2 и 3. Далее, решаем однородную систему уравнений 
для каждого из трёх собственных чисел.
1) 
.
(ранг системы равен 2, рассматриваем 1-е и 3-е уравнения). Первый и второй столбцы не образуют базисный минор, поэтому 
не может быть свободной переменной. Пусть свободной переменной будет 
, и далее, решая систему, получаем фундаментальную систему решений: вектор 
.
Проверка: умножаем матрицу оператора на этот вектор и видим, что он действительно является собственным и соответствует :
.
2) 
.
Здесь фундаментальная система решений – вектор 
.
Проверка: 
3) 
.
здесь фундаментальной системой решений будет 
.
Проверка: 
.
