Уравнения Максвелла

При построении теории пьезоэлектрического преобразователя уравнения Максвелла используются в следующем виде:

Первое из этих уравнений означает, что теория строится в квазистатическом приближении. Для обоснования этого можно привести следующие соображения. Электрические поля, порождаемые в пьезоэлектрике упругой волной возникают благодаря перераспределению этой волной положительных и отрицательных зарядов в объеме среды. Созданный при этом зарядовый “рельеф” переносится упругой волной со скоростью звука. Последняя в ≈10⁵ раз меньше скорости распространения электромагнитных волн. Поэтому указанные заряды можно считать неподвижными, а электрические поля, создаваемые ими - потенциальными, подчиняющимися законам электростатики.
В уравнении (10) отсутствует плотность тока проводимости и оставлена только плотность тока смещения ∂ D/dt. Это связано с тем, что пьезоэлектрик, используемый в электроакустическом преобразователе, должен быть непроводящим. В противном случае он будет шунтироваться собственной проводимостью, которая снизит в нем амплитуду переменного поля. Равенство нулю дивергенции в (11) следует из того, что пьезоэлектрик считается непроводящим и плотность объемного заряда в нем равна нулю.

2.4. Волновое уравнение для плоских ОАВ в пьезоэлектрике. Рассмотрим случай, когда в переменное электрическое поле введен конец пьезоэлектрического звукопровода, либо пьезоэлектрическая пластина,

закрепленная на непьезоэлектрическом звукопроводе (см.рис.2). Предположим, что пьезокристалл ориентирован осью x ₃ кристаллофизической системы координат параллельно вектору электрического поля, а его торцевая поверхность перпендикулярна этой оси. В таком случае в пьезоэлектрике будут возбуждаться практически плоские ОАВ с фазовой скоростью, направленной вдоль оси x ₃ и можно положить ∂/ dx ₁ =∂ /dx ₂ =O. Уравнения (5), (6), (8), (11) с учетом (7) примут вид

Из последнего уравнения следует, что D₃ не зависит от координаты x₃ и, следовательно, является лишь функцией времени. Выразим из (14) напряженность электрического поля E ₃

подставим ее в (13)

и, используя полученное выражение, найдем из (12) следующее волновое уравнение.

Поскольку j здесь может принимать значения 1,2,3, формула (18) представляет собой три уравнения, в которых неизвестными служат компоненты вектора смещения u_j (x₃, t).
Рассмотрим случай, когда пьезоэлектриком является кристалл класса 6mm, например, ZnO или CdS. Если воспользоваться матрицами упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических постоянных для таких кристаллов [4], то нетрудно убедиться, что во всех приведенных выше уравнениях неравными нулю будут только константы C₃₁₃₁ = C₃₂₃₂ , C₃₃₃₃ , e₃₃₃ и ε₃₃. Тогда из (13) и (14) будем иметь
а из (18) получим

В последнем уравнении величина k = (e ²₃₃₃ / C ₃₃₃₃ ε₃₃)^1/2
называется коэффициентом электромеханической связи. Таким образом, в пьезоэлектрике класса 6mm в направлении оси x ₃ возможно распространение двух чисто поперечных волн со смещениями вдоль x ₁ и x ₂ (см.(21) и (22)) и чисто продольной волны со смещением вдоль оси x₃ (см.(23)). Скорости этих волн, как следует из дисперсионных уравнений, которые нетрудно получить из (21), (22) и (23), соответственно, равны (C ₃₁₃₁/ρ)^{1/2 ,} (C ₃₂₃₂/ρ)^1/2 и (C₃₃₃₃ (1 +k²)/ρ)^1/2. Заметим, что обе поперечные волны имеют одинаковые скорости, так как C ₃₁₃₁ = C ₃₂₃₂. Переменным электрическим полем, направленным вдоль оси x ₃, будет возбуждаться лишь одна из этих трех волн, а именно продольная волна. Действительно, если в (12) подставить (13) и воспользоваться матрицами материальных констант [4], то из трех уравнений, которые мы при этом получим, два точно совпадают с (21) и (22), а третье примет вид

Правая часть этого неоднородного уравнения представляет в нем источник возбуждения акустических волн. Следовательно, для возбуждения упругой волны в пьезоэлектрике необходимо, чтобы производная ∂(e₃₃₃E₃)/∂x₃ была бы отлична от нуля, т.е. произведение (e₃₃₃E₃) должно изменяться в зависимости от координаты x₃. Если, например, плоская граница пьезоэлектрика перпендикулярна оси, то значение e₃₃₃ испытывает на ней скачок и будет иметь место так называемое “возбуждение с поверхности”.В случае пьезоэлектрика класса 6mm возможен также другой случай, когда переменное электрическое поле, направленное перпендикулярно торцу звукопровода, возбуждает чисто поперечную волну. Для этого необходимо сориентировать пьезоэлектрик таким образом, чтобы ось x₃ кристаллофизической системы координат оказалась бы перпендикулярной вектору электрического поля E и, следовательно, параллельной собственному торцу кристалла. В этом случае чисто поперечная волна может возбуждаться в любом направлении, лежащем в плоскости x ₁ O x ₂. Например, для волн, распространяющихся вдоль оси x₁, тензорные уравнения (5), (6) и (8) сводятся к следующим скалярным

где k - коэффициент электромеханической связи, равный

Решением уравнения (25) является чисто поперечная волна, распространяющаяся вдоль оси x₁ со смещением частиц среды параллельно оси x₃. Две другие волны, существование которых также возможно, не возбуждаются при заданном направлении электрического поля. Таким образом, в рассмотренных двух случаях тензорные уравнения, описывающие электромеханические свойства пьезоэлектрика, сводятся к скалярным. Обобщая оба случая, будем в дальнейшем необходимые нам уравнения записывать, опуская индексы, в следующем виде