2015-04-06
4526
Кроме уравнений Максвелла, большое значение в теории электромагнитного поля имеет теорема Умова—Пойнтинга, которая описывает энергетические соотношения в поле.
Теорема Умова—Пойнтинга имеет две формы записи: первая — для мгновенных значений, вторая — комплексная форма — для синусоидально изменяющихся величин.
Известно, что энергия электрического поля в единице объема равна 
. Энергия магнитного поля в единице объема 
. Энергия в объеме 
равна 
.
Для того чтобы образовать выражение, в которое вошла бы полная энергия в объеме , умножим первое уравнение Максвелла на 
, а второе на 
. Получим
Из первого выражения вычтем второе. Тогда
Так как 
, то левая часть полученного выражения есть 
. Следовательно,
.
Для сокращения записи обозначим векторное произведение 
на 
через 
, т. е. примем, что 
; — это вектор, называемый вектором Пойнтинга; размерность его равна произведению размерностей 
и 
:
.
Таким образом, вектор Пойнтинга имеет размерность мощности (или энергии в единицу времени), отнесенной к единице поверхности, и направление его (рис. 5.2) совпадает с направлением движения острия правого винта, если головку последнего вращать по кратчайшему направлению от к . Следовательно,
Рис. 7.2. Вектор Пойнтинга
Распространим данное выражение на некоторый объем конечных размеров. С этой целью проинтегрируем выражение по объему 
:
Подобно тому, как поверхностный интеграл по теореме Стокса преобразовывается в линейный: 
,объемный интеграл в свою очередь может быть преобразован в поверхностный. Это преобразование осуществляют с помощью теоремы Остроградского—Гаусса 
.
Теорему Умова—Пойнтинга для мгновенных значений записывают следующим образом:
.
Левая часть выражения представляет собой поток вектора Пойнтинга (направленный внутрь объема) сквозь любую замкнутую поверхность 
, ограничивающую некоторый объем .
В соответствии с уравнением Джоуля—Ленца в дифференциальной форме 
— энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единице объема в единицу времени.
Поэтому 
есть энергия, выделяющаяся в виде теплоты в единицу времени в объеме ; 
есть скорость изменения запаса электромагнитной энергии в единице объема.
Но скорость изменения электромагнитной энергии есть мощность. Следовательно, поток вектора Пойнтинга сквозь любую замкнутую поверхность, ограничивающую объем , равен мощности, выделяющейся в объеме в виде теплоты, и мощности, идущей на приращение энергии электромагнитного поля.
Теорему Умова—Пойнтинга следует трактовать как уравнение энергетического баланса; левая часть есть мощность или энергия в единицу времени, доставляемая в виде потока вектора Пойнтинга внутрь некоторого объема; правая часть есть энергия, расходуемая в единицу времени внутри объема.
Теорема Умова—Пойнтинга для мгновенных значений была получена в предположении, что среда внутри объема однородна и изотропна, а также в предположении, что отсутствует отраженная волна и внутри объема нет источников электродвижущей силы.
Если поле не изменяется во времени, то
и 
.
Обратим внимание также на то, что теорема учитывает возможность прохождения потока вектора транзитом через объем .
Электромагнитная энергия от места ее генерирования передается к месту потребления по диэлектрику (провода же в линиях передачи выполняют двоякую роль: они являются каналами, по которым проходит ток, и организаторами структуры поля в диэлектрике).
