Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Применение степенных рядов

Рядом Тейлора для функции f(x) называется степенной ряд вида:

(27)

Если а=0, то получим частный случай ряда Тейлора:

, (28)

который называется рядом Маклорена.

Алгоритм нахождения области сходимости ряда.

1) Находим радиус сходимости по формуле (25)

2) Выписываем выражение, содержащее переменную х: и решаем неравенство: ; .

3) Подставляем левую часть неравенства в ряд вместо х, т.е. () полученный ряд исследуем на сходимость.

4) Подставляем правую часть неравенства в ряд вместо х, т.е. () полученный ряд исследуем на сходимость.

5) Определим окончательные знаки на концах неравенства (26)

¾ если на границе ряд сходится, то знак не строгий или ;

¾ если на границе ряд расходится, то знак строгий < или >.

Рассмотрим типовые задания с подробными решениями и указаниями или методические рекомендации к выполнению задания.

Пример: Разложить в ряд Тейлора функцию: 1) по степеням 2) по степеням

Решение: 1) Вычислим значения данной функции и её производных при . Имеем:

, , , , …,

Получим: , , , , …, . Подставим эти значения в формулу ряда Тейлора:

.

Промежуток сходимости ряда найдем:

Следовательно,

2) Вычислим значения данной функции и её производных при .

Имеем: , , , ,

Получим: , , , , . Подставим эти значения в формулу ряда Тейлора:

или

.