Задача о нахождении приближенных значений действительных корней уравнения f(x)=0 предусматривает предварительное отделение корня, т.е. установление промежутка в котором других корней данного уравнения нет. Мы будем предлагать, что функция f(x) в промежутке [a,b] непрерывна вместе со своими производными f’(x) и f’’(x), значения f(a) и f(b) функции на концах промежутка имеют разные знаки, т.е. , и обе производные сохраняют знак во всем промежутке [a,b].
Метод хорд. Требуется вычислить действительный корень уравнения f(x)=0, изолированный на отрезке [a,b]. Пусть f(a)<0 и f(b)>0. По формуле
, (32)
где x1 принадлежит интервалу (a,b). Пусть , тогда за новый интервал изоляции корня можно принять [x1;b]. Тогда
и т.д. (33)
Последовательность чисел стремится к искомому корню уравнения f(x)=0. Вычисление приближенных значений корней уравнения следует вести до тех пор, которые мы хотим сохранить в ответе (т.е. пока не будет достигнута заданная степень точности).
Метод касательных. Требуется вычислить действительный корень уравнения f(x)=0, изолированный на отрезке [a,b]. Будем предполагать, что все ограничения, сформулированные вначале относительно f(x), сохраняют силу и сейчас. Возьмем на [a,b] число x0, при котором f(x0) имеет тот же знак, что и f’’(x0), т.е. такое, что (можно взять один из концов данного отрезка, при соблюдении этого условия в нем). М0(x0,f(x0)) –точка касания. Тогда
|
|
. (34)
М1(x1,f(x1)) –точка касания. Тогда и т.д. Полученная последовательность корней x0, x1, x2 имеет своим пределом искомый корень.
Комбинированный метод
. , . (35)
, и т.д. (36)
Продолжаем вычисления до тех пор пока не станет выполняться , где - достаточно малое число.
Рассмотрим типовые задания с подробными решениями.
Пример 1. Методом хорд и методом касательных найти положительный корень уравнения с точностью до 0,01.
Решение.
Метод хорд.
Находим промежуток в котором будет положительный корень (1; 1,7), т.к. . . Так как , следовательно (1,588;1,7). Продолжаем вычисления: . Так как , следовательно (;1,7). Продолжаем вычисления: . Так как , следовательно (;1,7). Продолжаем вычисления: . Так как , следовательно искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.
Метод касательных.
. Так как f(x) и f’’(x) при x0=1,7 имеют один и тот же знак, а именно: , то воспользуемся формулой:
, , . Следовательно искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.