Исследование сходимости знакочередующихся рядов

Числовой ряд:

(21)

называется знакопеременным рядом, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.

Ряд сходится, если выполняются два условия: 1) его члены убывают по модулю; 2) общий член ряда стремится к нулю, т.е.

и (22)

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно сходящимся.

Рассмотрим типовые задания с подробными решениями.

Пример 1. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

Решение: Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: . Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда, является гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.