Нахождение радиуса и области сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется выражение вида

, (23)

где постоянный коэффициент, х – независимая переменная, х₀ – фиксированное число.

Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.

Ряд сходится, если выполняются два условия: 1) его члены убывают по модулю; 2) общий член ряда стремится к нулю, т.е.

и (24)

Алгоритм нахождения области сходимости ряда.

1) Находим радиус сходимости по формуле

(25)

2) Выписываем выражение, содержащее переменную х: и решаем неравенство:

; . (26)

3) Подставляем левую часть неравенства в ряд вместо х, т.е. () полученный ряд исследуем на сходимость.

4) Подставляем правую часть неравенства в ряд вместо х, т.е. () полученный ряд исследуем на сходимость.

5) Определим окончательные знаки на концах неравенства (26)

¾ если на границе ряд сходится, то знак не строгий или ;

¾ если на границе ряд расходится, то знак строгий < или >.

Рассмотрим типовые задания с подробными решениями и указаниями или методические рекомендации к выполнению задания.

Пример: Найти область сходимости ряда .

Решение: Найдем радиус сходимости: и

. Выписываем выражение содержащее x: .

Решаем неравенство: .

При получим ряд

. По признаку Лейбница ряд расходится.

При получим ряд .

. По необходимому признаку ряд сходится. Ответ: