Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах

Пусть функция определена непрерывна и неотрицательна на отрезке . Фигура, ограниченная графиком функции , осью абсцисс и прямыми х = а x = b (a < b), называется криволинейной трапецией. (рис.1)

Рис.1.

Площадь криволинейной трапеции равна пределу, к которому стремится сумма площадей прямоугольников, на которые она распадается при разбиении отрезка [a,b] на частичные отрезки.

Таким образом, определенный интеграл функции на отрезке [a,b] выражает площадь криволинейной трапеции.

Если

Чтобы найти площадь фигуры, заключенной между двумя кривыми и , , , надо рассмотреть разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных графиками функций и (рис.2)

Рис.2

Пример. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями ,

Решение. Для вычисления площади построим соответствующую фигуру, найдем точки пересечения кривых и воспользуемся нужной формулой.

Каждая из заданных кривых является параболой.

- парабола с вершиной в точке (0;0), ветви направлены вверх

- парабола в вершиной в точке (3;4,5), ветви направлены вниз

при

Точки пересечения кривых найдем из решения системы

Выполним построение. (рис.3)

Рис.3

Воспользуемся формулой , где а = 0, b = 4, ,