Перестановочная двойственность уравнений Максвелла

Рассмотрим первое и второе уравнение Максвелла в комплексной форме для свободного поля:

,	(3.11)
.	(3.12)

Если сравнить эти уравнения между собой, легко обнаружить, что они переходят одно в другое в результате следующих замен:

(3.13)

Эти соотношения формализует принцип перестановочной двойственности для свободного поля.

Перестановочная двойственность уравнений Максвелла имеет большое практическое значение. Существуют такие электродинамические задачи, в которых векторы напряженности электрического и магнитного полей меняются ролями. Если одна из таких «парных» задач решена то для получения решения второй задачи достаточно в готовых формулах сделать замену, задаваемую условиями (3.13). Решение в этом случае получено путем применения принципа перестановочной двойственности.

Распространим принцип двойственности на уравнения Максвелла с источниками. Для этого запишем первое и второе уравнения:

	(3.14)

Систему (3.14) необходимо дополнить модифицированными уравнениями:

	(3.15)

где	– комплексная амплитуда вектора плотности сторонних магнитных токов.

Сопоставим обе системы уравнений. Известная система уравнений (3.14) переходит в модифицированную систему (3.15), если произвести следующие замены:

.

(3.16)

Эти соотношения отличаются от аналогичных, имеющих номер (3.13), тем, что в них присутствуют векторы плотности сторонних токов. То есть они относятся к вынужденному полю. Кроме того, в уравнениях (3.15) источники заданы специальным образом. В правой части второго уравнения стоит магнитный аналог вектора плотности сторонних электрических токов. Это комплексная амплитуда вектора плотности сторонних магнитных токов. Однако в природе магнитные заряды отсутствуют. Следовательно, не может быть и магнитных токов. Но это не мешает вводить такие объекты формально для упрощения исследования реальных полей.

Замена (3.16) может производиться и в готовых формулах, описывающих решения задач.