2015-04-01
1954
В систему Максвелла входят уравнения в частных производных. Решение системы уравнений в частных производных тем сложнее, чем больше количество независимых переменных они содержат. В рассматриваемую систему входят частные производные по четырем независимым переменным, х, у, z и t, поэтому для упрощения решения полезно исключить хотя бы одну из них. Это возможно, если электромагнитный процесс является монохроматическим, то есть изменяется во времени по гармоническому закону.
В природе таких процессов нет, так как монохроматический процесс должен существовать всегда и иметь постоянную амплитуду. Такой процесс не является сигналом и с его помощью нельзя передавать информацию. Однако большинство радиосигналов, встречающихся на практике, можно представить как совокупность гармонических составляющих. Чаще всего для такого представления используются ряды или интегралы Фурье.
Суть метода комплексных амплитуд рассмотрим на примере напряженности электрического поля, изменяющейся по гармоническомузакону. Ее изменение во времени можно описать следующим образом:
|
|
|
| (3.1) |
| где | Е0 – амплитуда, |
| ω – круговая частота, | |
| φ – фаза. |
Во многих случаях операцию взятия действительной части можно опустить и оперировать с комплексными величинами, которые будем обозначать точкой сверху:
| (3.2) |
| где |  – комплексная амплитуда:
|
| (3.3) |
Комплексной амплитудой называется часть математического описания гармонического процесса, не зависящая от времени, а проведение расчетов с использованием комплексного представления гармонических величин называется методом комплексных амплитуд.
Возьмем производную по времени от последней формы записи формулы (3.2). Получим:
| (3.4) |
Отсюда следует, что операцию дифференцирования по времени можно заменить умножением на jω. Если необходимо вычислить вторую производную, правую часть формулы (3.4) надо умножить на jω еще раз:
| (3.5) |
И так далее. Значит, дифференцирование по времени свелось к умножению на jω. Очевидно, что это проще и на одну переменную, по которой проходит дифференцирование в уравнениях, стало меньше. Следовательно, упростилось решение системы уравнений Максвелла.
Запишем уравнения Максвелла для комплексных амплитуд:
 ,
|  ,
| (3.6) |
 ,
|  ,
| |
 ,
|  .
|
Необходимо обратить внимание на то, что абсолютная диэлектрическая проницаемость и абсолютная магнитная проницаемость в материальных уравнениях записаны как комплексные величины. Такое представление упрощает описание распространения электромагнитного поля в среде с электрическими и магнитными потерями.
|
|
|
Электрические потери имеют место быть в среде с отличной от нуля электропроводностью, а магнитные – в магнетике. В подавляющем большинстве случаев имеются только электрические потери, поэтому их и рассмотрим далее.
