Пуассоновские процессы и дробовый шум

Этот процесс состоит из совокупности импульсов

n

x(t) = å F(t - t_p). (2.18)

p = 1

Здесь F(t) - регулярная функция времени, описывающая форму одиночного импульса. Случайными могут быть как моменты появления отдельных импульсов t_p, так и полное число импульсов n за время наблюдения Т. Исследуем статистические свойства последовательности (2.18) в следующих приближениях. 1) Каждый импульс возникает независимо от остальных, и их появление равновероятно, так что w(t_p)= 1/T. 2) Интервал Т велик по сравнению с длительностью t_имп каждого импульса: Т>>t_имп. 3) Моменты t_p и число импульсов n - статистически независимые случайные величины. Тогда плотность вероятности

n

w(n, t₁, t₂,..., t_n) = P(n) P w(t_p) = P(n) / Tⁿ, (2.19)

р=1

где P(n) - вероятность появления n импульсов за время Т, среднее по времени появления импульса t_p значение и корреляционная функция процесса F равны

¥ ¥

< F > = ò F(t - t_p) w(t_p) dt_p = (1 / T) ò F(q) dq, (2.20)

- ¥ - ¥

¥ ¥

< F F_t> = ò F(t - t_p) F(t + t - t_p) w(t_p) dt_p = (1 / T) ò F(q) F(q + t) dq, (2.21)

- ¥ - ¥ где q = t - t_p, и в силу предположения 2) функции < F > и < F F_t> практически не зависят от t.

При предположениях 1) - 3) статистика числа импульсов подчинена закону Пуассона

P(n) = e^{- a} aⁿ / n!, (2.22)

для которого среднее значение и дисперсия случайной величины n равны: < n >= = s²_n = a, и < n² >= a (1 + a); в пределе: n ® ¥ распределение Пуассона переходит приближенно в нормальное, причем s_n /< n > ® 0.

Анодный ток электронной лампы - случайная последовательность импульсов. Флуктуирующая часть тока называется дробовымшумом. Статистика дробового шума зависит от статистики термоэлектронной эмиссии из катода и от взаимодействия электронов при пролете от катода к аноду. Пусть лампа работает в режиме насыщения. Тогда из двух факторов действует только первый. Различные термоэлектроны эмитируются из катода независимо друг от друга. Поэтому статистика термоэлектронной эмиссии, а значит - и импульсов анодного тока, является пуассоновской (2.22). Последнее выражение определяет вероятность вылета n электронов из катода за время Т. Среднее число электронов, эмитируемых в единицу времени, равно W = I₀ / e, где I₀ - средняя сила анодного тока и e - элементарный заряд. За время Т в среднем эмитируется < n > = WT электронов. Из (2.26) следует выражение для спектра мощности дробового шума: G(w) = 2p W ïi(w)ï², где i(w) - Фурье - образ импульса тока i(t), возбуждаемого в анодной цепи отдельным электроном.

Пусть в плоском ламповом диоде ось z направлена от катода к аноду и z = = 0 на поверхности катода. При достаточно высоком анодном напряжении V можно пренебречь тепловым разбросом скоростей электронов и задать начальную (при t = 0) скорость электрона u(0) = 0 при z = 0. Проинтегрируем уравнение движения: md²z/ dt² = eE, электрона с массой m, движущегося в однородном электрическом поле с напряженностью: E=V/d, где d - расстояние между катодом и анодом. Получим выражение для скорости электрона: u(t) = (e/ m) (V / d) t.

Мощность работы электрического поля по переносу электрона равна P₁ = eEu(t). В единицу времени при протекании импульса анодного тока, вызванного электроном, в анодной цепи выделяется количество теплоты: P₂ = i(t)V. По закону сохранения энергии, имеем: P₁ = P₂. В результате получаем, что импульс тока, вызванный движением электрона между катодом и анодом, имеет треугольную форму и описывается выражением

i(t) = 2 e t / t²_пр, (0 < t < t_пр) (2.27)

где t_пр - время пролета электрона от катода к аноду, t_пр = (2md / (e E))^1/2.

Сила случайного тока последовательности импульсов равна

I(t) = å i(t - t_n) = (2 e / t²_пр) å a_n, (2.28)

n n

где a_n = t - t_n, если 0 < t - t_n < t_пр, иначе a_n = 0.

Запишем Фурье - образ импульса тока

¥ t_пр

i(w) = (1/(2p))^-1 ò i(t) e^-jwt dt = (e/(pt²_пр)) ò t e^-jwt dt. (2.29)

- ¥ 0

Интегрируя (2.29), найдем

êi(w) ê² = (e / (p q²))² (2 + q² - 2q sin q -2 cos q) = (e / (2p))² F(q), (2.30)

где q - пролетный угол, q = w t_пр, F(q) = (4 / q⁴) (2 + q² - 2q sin q -2 cos q).

Подставляя (2.30) в (2.26), получаем выражение для спектра мощности дробового шума

G(w) = (e /(2p)) I₀ F(q). (2.31)

Согласно (2.31), частота колебаний w входит в выражение (2.31) только в комбинации со временем пролета t_пр (q = w t_пр), и спектральная плотность G(w) пропорциональна средней силе анодного тока I₀. Приq ® 0 (w® 0) имеем: F(q) ® 1, и спектральная плотность дробового шума максимальна:

G(w) = (e /(2p)) I₀. (2.32)

ФормулаШоттки (2.32) используется при расчете дробового эффекта низкочастотных ламп, когда q << 1. Напротив, при q ® ¥ получим: G(w) ® 0, то есть при больших пролетных углах дробовой шум исчезает. При q ® ¥ резко уменьшается коэффициент усиления лампы. Поэтому увеличение q не приводит к увеличению чувствительности усилителя. Добиться уменьшения уровня дробового шума можно, перейдя от режима насыщения к режиму ограничения анодного тока облаком отрицательного пространственного заряда электронов у катода. Наличие облака приводит к взаимодействию электронов. Статистика взаимодействия такова, что уровень дробового шума уменьшается. Данный эффект называется депрессиейдробовогошума. С учетом эффекта депрессии (2.32) перепишется как

G(w) = G (e /(2p)) I₀, (2.33)

где G - коэффициент депрессии, на низких частотах обычно G» 0,01 вдали от режима насыщения.