Формализм Лагранжа как основной механизм квантования систем

В самом общем случае динамическое состояние классической системы определяется переменными положения, т.е. обобщенными координатами q₁, q₂, …, q_R, и переменными скорости, т.е. производными по времени обобщенных координат ; число степеней свободы системы обозначим буквой R. Если мы имеем дело с системой из n частиц, то в качестве переменных положения можно выбрать 3n декартовых координат этих частиц, но все последующее справедливо и при другом выборе координат. Положение системы в каждый момент времени может быть представлено в R-мерном конфигурационном пространстве точкой М, имеющей координаты q₁, q₂, …, q_R. Задачей классической механики является нахождение законов эволюции системы во времени или законов движения точки М в конфигурационном пространстве.

Для очень большого числа динамических систем законы движения можно написать, вводя некоторую функцию, характеризующую систему, - функцию Лагранжа:

Координаты q удовлетворяют дифференциальным уравнениям второго порядка (уравнениям Лагранжа);

(r =1, 2, …, R).

Величины

называются обобщенными импульсами Лагранжа. В том случае, когда q_r есть одна из декартовых координат частицы с массой m, а силы получаются из статистического потенциала, величина p_r есть соответствующая компонента количества движения этой частицы .

Законы движения могут быть также выражены в форме вариационного принципа. Действительно, система уравнений Лагранжа эквивалентна принципу наименьшего действия (Мопертюи – Гамильтон):

, , (1)

смысл которого состоит в следующем: из всех законов движения M(t), позволяющих системе перейти из положения M₁ в момент времени t₁ в положение М₂ в момент времени t₂, в действительности реализуется тот, который соответствует минимуму интеграла .

В обычном случае L представляет собой разность между кинетической энергией T (являющейся квадратичной функцией ) и потенциальной энергии V. Однако формализм Лагранжа применим при описании самого широкого класса динамических систем.

В качестве примера рассмотрим электрон в кулоновском поле протона (предполагаемого бесконечно тяжелым). Пусть r (x,y,z) есть радиус-вектор электрона в системе координат с началом в точке, где находится протон, - скорость, p(p_x,p_y,p_z) – импульс электрона. Функция Лагранжа есть

Обобщенный импульс электрона имеет координаты , , , которые равны составляющим его количества движения.

Аналогично можно получить уравнения движения, используя всякую систему координат. Для траекторий, расположенных в плоскости xy (), в полярных координатах получаем ()

, , ,

равно абсолютной величине момента количества движения; это действительно интеграл движения.

2.15. Квантование свободного электромагнитного поля.

Рассматривая электромагнитное поле как квантовый объект, удобно исходить из такого классического описания поля, в котором оно характеризуется хотя и бесконечным, но дискретным рядом переменных; такое описание позволит непосредственно применить обычный аппарат квантовой механики. Представление же поля с помощью потенциалов, задаваемых в каждой точке пространства, есть по существу описание с помощью непрерывного множества переменных.

Пусть A ( r, t) – векторный потенциал свободного электромагнитного поля, удовлетворяющий «условию поперечности»

div A =0. (1)

При этом скалярный потенциал Ф=0, а поля Е и Н:

Е = - А, Н = rot A. (2)

Уравнения Максвелла сводятся к волновому уравнению для А:

. (3)

Поле в конечном объеме может быть разложено на бегущие плоские волны, так что его потенциал изобразится рядом вида:

, (4)

где коэффициенты , . (5)

В силу условия (1) комплексные векторы a_k ортогональны соответствующим волновым векторам: a _kk=0.

Заданием векторов a _k полностью определяется поле в данном объеме.

Канонические переменные поля определяются посредством

(6)

Векторный потенциал выражается через канонические переменные согласно

. (7)

Для нахождения функции Гамильтона надо вычислить полную энергию поля , выразив ее через величины Q_k, P_k. Представив А в виде разложения (7), вычислив Е и Н согласно (2) и произведя интегрирование, получим

Обозначив две компоненты векторов Q_k, P_k (в плоскости, перпендикулярной k) посредством (), перепишем ф-цию Гамильтона в виде:

. (8)

Таким образом, ф-ция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре величин .

Перейдем теперь к квантованию свободного электромагнитного поля. Изложенный способ классического описания поля делает очевидным путь перехода к квантовой теории. Мы должны рассматривать теперь канонические переменные – обобщенные координаты и обобщенные импульсы - как операторы с правилом коммутации: