Даны уравнения движения точки в плоскости :
,
(, – в сантиметрах, – в секундах).
Определить уравнение траектории точки; для момента времени с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Решение:
1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время . Поскольку входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу
:
. (1)
Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим
, ,
следовательно,
.
Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. К1,а):
. (2)
Рис. К1,а |
, ,
.
Для момента времени с: , , .
3. Аналогично найдем ускорение точки:
, ,
.
Для момента времени с: , , . (4)
4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство:
Получим
,
откуда
. (5)
Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и,(4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при с: .
5. Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда найденные при с числовые значения и , получим, что .
6. Радиус кривизны траектории . Подставляя сюда числовые значения и при с, найдем, что см.
Ответ: , , , , см.